Empilement de cercles dans un triangle équilatéral

L'empilement de cercles dans un triangle équilatéral est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre n dans le triangle équilatéral le plus petit possible.

Des solutions optimales sont connues pour n < 13 et pour tout nombre triangulaire de cercle, et des conjectures sont disponibles pour n < 28^[1],[2],[3].

Une conjecture de Paul Erdős et Norman Oler indique que si n est un nombre triangulaire alors les empilement optimaux de n − 1 et de n cercles ont la même longueur de côté : c'est, selon la conjecture, un empilement optimal pour n − 1 cercles peut être trouvé en supprimant un seul cercle de l'empilement hexagonal optimal de n cercles^[4]. On sait maintenant que cette conjecture est vraie pour n ≤ 15^[5].

Voici les solutions minimales pour la longueur du côté du triangle^[1] :

Nombre de cercles n	Longueur du côté du triangle	Figure
1	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\approx 3,464...}$
2	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...}$
3	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...}$
4	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}\approx 6,928...}$
5	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...}$
6	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...}$
7	${\displaystyle 2+4{\sqrt {3}}\approx 8,928...}$
8	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}\approx 9,293...}$
9	${\displaystyle 6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...}$
10	${\displaystyle 6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...}$
11	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}\approx 10,730...}$
12	${\displaystyle 4+4{\sqrt {3}}\approx 10,928...}$
13	${\displaystyle 4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}\approx 11,406...}$
14	${\displaystyle 8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...}$
15	${\displaystyle 8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...}$

Un problème étroitement lié est de couvrir le triangle équilatéral avec un nombre fixe de cercles égaux, ayant un rayon aussi petit que possible^[6].