Espace monotonement normal

En mathématiques, un espace monotonement normal^[1] est un espace topologique vérifiant une certaine propriété de séparation, plus forte que la normalité complète.

Un espace T₁ X est dit monotonement normal lorsqu'il vérifie les propriétés équivalentes suivantes^[2]^,^[3]^,^[4]^,^[5] :

il existe une base d'ouverts de X et une application H qui à tout ouvert U de la base et tout point x de U associe un ouvert H(x, U), telle que :
- H(x, U) est inclus dans U et contient x,
- et si H(x, U) rencontre H(y, V) alors x appartient à V ou y à U ;
il existe une application H qui associe plus généralement un ouvert H(x, U) à tout ouvert U et tout point x de U, qui vérifie les deux mêmes conditions et qui est croissante par rapport à U ;
il existe une application G qui à tous fermés disjoints A et B associe un ouvert G(A, B), telle que
- $A\subset G(A,B)\subset {\overline {G(A,B)}}\subset X\setminus B{\text{ et}}$
- $\left(A\subset A'{\text{ et }}B\supset B'\right)\Rightarrow G(A,B)\subset G(A',B')$
(G peut alors être choisie telle que G(A, B) et G(B, A) soient toujours disjoints, en remplaçant chaque G(A, B) par G(A, B)\G(B, A)) ;
il existe une application G qui associe plus généralement un ouvert G(A, B) à toutes parties A et B « séparées » — c'est-à-dire telles que A ∩ B = ∅ = B ∩ A — et qui vérifie les deux mêmes conditions.

Preuve de l'équivalence

On a évidemment 2 ⇒ 1 et 4 ⇒ 3.

1 ⇒ 2 : à partir d'une application H vérifiant 1 (définie seulement pour les ouverts d'une base), on peut construire H' vérifiant 2, en définissant H'(x, U) (pour tout ouvert U contenant x) comme la réunion des H(x, V), pour tous les ouverts V de la base inclus dans U et contenant x.

2 ⇒ 4 en prenant pour G(A, B) la réunion des H(x, X\B) quand x parcourt A.

3 ⇒ 2 en partant d'un G qui vérifie la condition supplémentaire G(A, B) ∩ G(B, A) = ∅ et en posant H(x, U) = G({x}, X\U).

Exemples

Propriétés

La première ou la deuxième des quatre définitions équivalentes montre que la normalité monotone est héréditaire, c'est-à-dire qu'elle passe aux sous-espaces.

La troisième justifie le nom de « monotonement normal » et a pour conséquence que X est collectivement normal^[2]^,^[5].

Démonstration

Soit (A_i)_i∈I une famille discrète de fermés de X. Pour tout i, la réunion B_i de tous les A_j pour j ≠ i est fermée (puisque (A_i)_i∈I est localement finie) et si G vérifie la définition 3 avec la condition supplémentaire G(A, B) ∩ G(B, A) = ∅, l'ouvert G(A_i, B_i) contient A_i et les G(A_i, B_i) sont disjoints.

On déduit de ces deux propriétés :

Tout espace monotonement normal est héréditairement collectivement normal.

En particulier, il est héréditairement normal, autrement dit complètement normal, ce qui se déduit aussi directement de la dernière des quatre définitions équivalentes.

Toute image d'un espace monotonement normal par une application continue fermée est monotonement normale^[2]^,^[5].

Démonstration

Soient X monotonement normal et f : X → Y une surjection continue fermée. Alors Y est un espace T₁ et si G est une application vérifiant la définition 3 pour X alors l'application G' suivante la vérifie pour Y : pour tous fermés disjoints S et T de Y,

G'(S,T)=Y\setminus f\left(X\setminus G(f^{-1}(S),f^{-1}(T))\right).

Une conjecture de Jacek Nikiel (pl), démontrée par Mary Ellen Rudin^[8], fournit une forme de réciproque : tout espace compact monotonement normal est l'image continue d'un compact ordonnable.

Espace monotonement normal

Exemples

Propriétés

Notes et références

Related Articles