Fonction d'appui

La fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé E est la fonction notée σ_P et définie par

où E' est le dual topologique de E et ${\displaystyle \langle s,x\rangle }$ est la valeur de la forme linéaire continue s en x.

En particulier, ${\displaystyle \sigma _{\varnothing }(s)=-\infty }$ (sup(∅) = –∞)^[1].

La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.

• La fonction conjuguée de la fonction indicatrice d'une partie P de E est la fonction d'appui de P.
• La fonction d'appui de la boule unité de E est la norme canonique du dual E'.
• Si E est un espace euclidien et si f est une fonction convexe propre définie sur E à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$, sa dérivée directionnelle ${\displaystyle f'(x;\cdot )}$ en un point x dans l'intérieur relatif de son domaine est la fonction d'appui du sous-différentiel de f en x (voir « Formule du max »).

• La fonction d'appui d'une partie quelconque est convexe car sous-linéaire.
• Elle est de plus « fermée », c'est-à-dire semi-continue inférieurement.
• Toute partie P a même fonction d'appui que son enveloppe convexe fermée co(P). Plus précisément :${\displaystyle \sigma _{P}\leqslant \sigma _{Q}\Leftrightarrow {\overline {\operatorname {co} }}(P)\subset {\overline {\operatorname {co} }}(Q)}$.
• A fortiori, toute partie a même fonction d'appui que son adhérence et que son enveloppe convexe :${\displaystyle \sigma _{P}=\sigma _{\overline {P}}=\sigma _{\operatorname {co} (P)}}$.