Fonction zêta de Dedekind

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie algébrique des nombres, la fonction zêta de Dedekind est une fonction complexe méromorphe associée à un corps de nombres, qui généralise la fonction zêta de Riemann. Les fonctions zêta de Dedekind sont un exemple de fonctions zêta de Hasse-Weil. À ce titre, leurs valeurs spéciales encodent conjecturalement un certain nombre de propriétés arithmétiques des corps de nombres qui leur sont associés, notamment à travers la formule du nombre de classes ou la conjecture de Lichtenbaum.

Définition

Étant donné un corps de nombres $K$ , la fonction zêta de Dedekind associée à $K$ est la série de Dirichlet de la variable complexe $s$ définie par la somme infinie

\zeta _{K}(s)=\sum _{I}N(I)^{-s}

,

prise sur tous les idéaux $I$ non nuls de l'anneau ${\mathcal {O}}_{K}$ des entiers de $K$ , avec $N(I)$ la norme de $I$ . Cette série est convergente dès que la partie réelle de $s$ est strictement supérieure à $1$ .

Propriétés

Produit eulérien

Cette fonction possède un développement en produit eulérien,

\zeta _{K}(s)=\prod _{p}\prod _{{\mathfrak {p}}\mid p}(1-N({\mathfrak {p}})^{-s})^{-1}

,

où le premier produit est pris sur tous les nombre premiers $p$ et le second produit sur les idéaux premiers ${\mathfrak {p}}$ de ${\mathcal {O}}_{K}$ divisant $p$ . Ceci est l'expression en termes analytiques de l'unicité de la factorisation en idéaux premiers des idéaux sur un anneau de Dedekind.

Équation fonctionnelle et prolongement analytique

De même que pour la fonction zêta de Riemann, Erich Hecke démontre en général que la fonction $\zeta _{K}(s)$ admet un prolongement analytique à tout le plan complexe, sauf au point $s=1$ . Elle admet un pôle simple au point $s=1$ . La fonction $\zeta _{K}(s)$ vérifie l'équation fonctionnelle suivante, reliant ses valeurs en $s$ et en $1-s$ ,

\Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s),

où $\Lambda _{K}(s)$ désigne la fonction zêta de Dedekind complétée

\Lambda _{K}(s)=\vert \Delta _{K}\vert ^{\frac {s}{2}}\Gamma _{\mathbb {R} }(s)^{r_{1}}\Gamma _{\mathbb {C} }(s)^{r_{2}}\zeta _{K}(s),

avec $\Gamma _{\mathbb {R} }(s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma (s/2)$ et $\Gamma _{\mathbb {C} }(s)=(2\pi )^{-s}\Gamma (s)$ les facteurs gamma aux places archimédiennes, $\Delta _{K}$ le discriminant de $K$ et $r_{1}$ (resp. $r_{2}$ ) le nombre (resp. la moitié du nombre) de plongements réels (resp. complexes) de $K$ .

Exemples

Pour $K=\mathbb {Q}$ le corps des rationnels, la fonction zêta de Dedekind est égale à la fonction zêta de Riemann.
Pour $K=\mathbb {Q} (i)$ le corps des rationnels de Gauss, le développement en produit eulérien de la fonction zêta de Dedekind est donnée parv
$\zeta _{\mathbb {Q} (i)}(s)={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot \prod _{p\equiv 1{\bmod {4}}}{\frac {1}{(1-p^{-s})^{2}}}\cdot \prod _{p\equiv 3{\bmod {4}}}{\frac {1}{1-p^{-2s}}}$ .
De plus, on a la décomposition $\zeta _{\mathbb {Q} (i)}(s)=\zeta (s)L(\chi _{4},s)$ , avec $L(\chi _{4},s)$ la fonction L de Dirichlet du caractère de Dirichlet associé au symbole de Jacobi $\left({\frac {\cdot }{4}}\right)$ , qui envoie $1$ sur $1$ et $3$ sur $-1$ .

Valeurs spéciales

Formule du nombre de classes

La formule du nombre de classes relie le résidu en $s=1$ de la fonction zêta de Dedekind d'un corps de nombres à un certain nombre de ses invariants arithmétiques.

Conjecture de Quillen-Lichtenbaum

La conjecture de Quillen-Lichtenbaum (en) prévoit les valeurs des fonctions zêta de Dedekind aux entiers positifs pairs, en terme de K-théorie algébrique.

Liens avec d'autres fonctions L

Fonction zêta de Riemann

La fonction zêta de Dedekind associée au corps de nombres des rationnels $\mathbb {Q}$ est la fonction zêta de Riemann.

Décomposition en fonctions L d'Artin

Pour le cas dans lequel $K/\mathbb {Q}$ est une extension abélienne, sa fonction zêta de Dedekind peut être écrite comme un produit de fonctions L de Dirichlet. Par exemple, lorsque $K$ est un corps quadratique, on dispose de la décomposition

\zeta _{K}(s)=\zeta _{\mathbb {Q} }(s)L(\chi ,s),

où $L(\chi ,s)$ est la fonction L associée au caractère de Dirichlet $\chi \,$ , construit à partir du symbole de Jacobi $\left({\frac {\cdot }{\Delta _{K}}}\right)$ . Ceci est une formulation de la loi de réciprocité quadratique.

En général, si $K/\mathbb {Q}$ est une extension galoisienne de groupe de Galois $G$ , alors sa fonction zêta de Dedekind possède une factorisation comparable en termes de fonctions L d'Artin. Celles-ci sont attachées aux représentations linéaires de $G$ .

Fonctions zêta de Hasse-Weil

Les fonctions zêta de Dedekind sont un exemple prototypique de fonctions L, en particulier de fonctions zêta de Hasse-Weil. En effet, la fonction zêta de Dedekind associée au corps de nombres $K$ est la fonction zêta de Hasse-Weil associée au spectre de ${\mathcal {O}}_{K}$ , l'anneau des entiers de $K$ .

Applications

Les fonctions zêta de Dedekind permettent de généraliser des résultats découlant de l'étude de la fonction zêta de Riemann. Par exemple, le théorème des nombres premiers, qui découle de la non-annulation de la fonction zêta de Riemann sur la droite $\mathrm {Re} (s)=1$ et de l'existence d'un pôle simple en $s=1$ , se généralise au théorème des idéaux premiers de Landau^[1]^,^[2].