Série L de Dirichlet

Par périodicité de ${\displaystyle \chi }$,

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{j=1}^{N}\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {\chi (j)}{(j+rN)^{s}}}={\frac {1}{N^{s}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {\chi (j)}{(j/N+r)^{s}}}={\frac {1}{N^{s}}}\sum _{j=1}^{N}\chi (j)\,\zeta \left(s,{\frac {j}{N}}\right)}$,

d'où

${\displaystyle \operatorname {Res} _{1}L(\cdot ,\chi )={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\chi (j)\operatorname {Res} _{1}\zeta \left(\cdot ,{\frac {j}{N}}\right)={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\chi (j)}$.

Ici, N désigne le modulo des caractères étudiés.

Si χ est le caractère principal, ${\displaystyle \operatorname {Res} _{1}L(\cdot ,\chi )}$ = φ(N)/N > 0.

${\displaystyle (1)\quad \sum _{j=1}^{N}\chi (j)=0}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{1}L(\cdot ,\chi )=0}$

N désigne encore le modulo des caractères étudiés.

• Il existe au plus un caractère dont la fonction L a 1 pour racine.
  Soit r le nombre de caractères dont la fonction L a 1 pour racine. Les autres fonctions L sont holomorphes, sauf celle du caractère principal χ₀, dont 1 est pôle d'ordre 1. Le produit ψ de toutes ces fonctions L vérifie donc, sur un disque épointé D de centre 1 du plan complexe, une majoration de la forme suivante, pour un certain réel M :${\displaystyle (2)\quad \forall s\in D\quad |\psi (s)|\leq M|s-1|^{r-1}}$.Or un calcul (cf. § « Produit eulérien » de l'article « Caractère de Dirichlet ») montre que si U désigne le groupe des unités de ℤ/Nℤ, Û son groupe dual de caractères, P l'ensemble des nombres premiers et s un nombre complexe de partie réelle strictement supérieure à 1 :${\displaystyle \forall u\in U\quad \sum _{\chi \in {\widehat {U}}}{\overline {\chi (u)}}\;\log \left(L(s,\chi )\right)=\varphi (N)\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\quad \sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}{\text{ et }}p^{k}\in u}{\frac {1}{kp^{ks}}}}$.En choisissant pour u l'élément neutre du groupe on obtient, pour tout réel s > 1 :${\displaystyle \log \psi (s)=\sum _{\chi \in {\widehat {U}}}\log L(s,\chi )=\varphi (N)\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}{\text{ et }}p^{k}\equiv 1}{\frac {1}{kp^{ks}}}\in \mathbb {R} ^{+}\quad {\text{donc}}\quad \psi (s)\in [1,+\infty [}$ce qui, compte tenu de (2), prouve que r est inférieur ou égal à 1.
• La fonction L d'un caractère non réel n'admet pas 1 comme racine.
  Si un caractère χ est non réel et si sa fonction L admet 1 comme racine alors son caractère conjugué est différent de lui-même et sa fonction L admet aussi 1 comme racine. Le lemme précédent montre que cette configuration est impossible.
• La fonction L d'un caractère réel non principal n'admet pas 1 comme racine.
  Cette démonstration est plus délicate. Elle a retenu Dirichlet pendant un an. Celle présentée ici est l'œuvre d'Aleksandr Gelfond et Atle Selberg. C'est un raisonnement par l'absurde. On suppose donc que χ est un caractère réel non principal et que L(1, χ) est nul.
  Soit (a_n(t)) où n est un entier strictement positif, la suite de fonctions sur ]0, 1[ définie par :${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall t\in ]0,1[\quad a_{n}(t)={\frac {1}{n(1-t)}}-{\frac {t^{n}}{1-t^{n}}}}$.
  • La suite (a_n(t)) est positive.
    On remarque que : ${\displaystyle (1-t^{n})a_{n}(t)={\frac {1-t^{n}}{n(1-t)}}-t^{n}}$.La convexité de la fonction exponentielle montre que, si ln désigne le logarithme népérien :${\displaystyle (3)\quad {\frac {1-t^{n}}{n(1-t)}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\exp \left(\ln(t^{i})\right)\geq \exp {\frac {\sum _{i=0}^{n-1}\ln(t^{i})}{n}}=\left(\prod _{i=0}^{n-1}t^{i}\right)^{\frac {1}{n}}=t^{\frac {n-1}{2}}\geq t^{n}}$,ce qui démontre que la suite (a_n) est positive.
  • La suite (a_n(t)) est décroissante.
    Calculons a_n – a_{n + 1} :${\displaystyle (4)\quad a_{n}(t)-a_{n+1}(t)={\frac {1}{n(n+1)(1-t)}}-{\frac {t^{n}(1-t)}{(1-t^{n})(1-t^{n+1})}}}$.La minoration (3) montre que :${\displaystyle (5)\quad {\frac {1-t^{n}}{n(1-t)}}{\frac {1-t^{n+1}}{(n+1)(1-t)}}\geq t^{\frac {n-1}{2}}t^{\frac {n}{2}}\geq t^{n}}$.En multipliant l'inégalité (5) par la bonne fraction, on obtient :${\displaystyle (6)\quad {\frac {1}{n(n+1)(1-t)}}\geq {\frac {t^{n}(1-t)}{(1-t^{n})(1-t^{n+1})}}}$.L'inégalité (6) prouve bien que la différence (4) est positive.
  • La série de terme général a_n(t) χ(n) est absolument majorée par le modulo N du caractère.
    On effectue sur la série une transformation d'Abel :${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\left(\sum _{m=1}^{n}\chi (m)-\sum _{m=1}^{n-1}\chi (m)\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}(t)-a_{n+1}(t)\right)\sum _{m=1}^{n}\chi (m)}$.Comme la suite (a_n(t)) est positive et décroissante, la valeur a_n(t) – a_{n + 1}(t) est positive et majorée par a₁(t) = 1. La fonction χ est périodique de période N et (cf. équation (1) de la boîte déroulante précédente) la somme de ses valeurs sur N entiers consécutifs est nulle. Les χ(m) sont de module 0 ou 1, ce qui montre que leur somme ne dépasse jamais N en module. On a donc bien :${\displaystyle (7)\quad \left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\right|\leq N}$.
  • La série de terme général a_n(t) χ(n) vérifie l'égalité suivante :${\displaystyle (8)\quad \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}}$.En effet, par définition de la série :${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n(t-1)}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}={\frac {L(1,\chi )}{t-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}}$or L(1, χ) est supposé nul.
  • La série de terme général a_n(t) χ(n) vérifie l'égalité suivante :${\displaystyle (9)\quad \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)=-\sum _{m=1}^{\infty }A(m)t^{m},\quad {\text{avec}}\quad A(m)=\sum _{n|m}\chi (n)}$.En effet, l'égalité (8) montre que :${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}=-\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)t^{n}\sum _{k=0}^{\infty }t^{kn}=-\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\sum _{k=1}^{\infty }t^{kn}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left(\sum _{n\mid m}\chi (n)\right)t^{m}}$.
  • La fonction A(m) est à valeurs entières, elle est positive et strictement positive si m est un carré parfait.
    χ est un caractère réel, il prend donc ses valeurs dans l'ensemble {–1, 0, 1}, en conséquence A(m) prend ses valeurs dans les entiers.
    Soit p un nombre premier et k un entier positif. Si p divise N alors toute puissance de p autre que p⁰ est d'image nulle par χ et A(p^k) = 1.
    Si χ(p) est égal à 1, alors toute puissance de p a la même image par χ car un caractère est une fonction complètement multiplicative et A(p^k) est égal à k + 1.
    Enfin si χ(p) est égal à –1, alors toute puissance de p a pour image par χ : 1 si l'exposant est pair et –1 dans le cas contraire. En conséquence A(p^k) est égal à 1 si k est pair et 0 dans le cas contraire.
    Toute puissance d'un nombre premier possède donc une image positive ou nulle par A. Il suffit alors de remarquer que A est une fonction multiplicative pour conclure que les images de A sont toujours positives.
    Enfin si m est un carré parfait alors A(m) est strictement positif, comme produit de termes de la forme A(p^2k), tous strictement positifs.
  • Conclusion
    Il existe une infinité de carrés parfaits. L'égalité (9) montre que l'expression, en module, peut être choisie aussi grande que l'on veut, si t est suffisamment proche de 1. Ce résultat est en contradiction avec la majoration (7), ce qui termine la démonstration.

Calculons le produit ψ de toutes les fonctions L associées aux caractères modulo N, pour Re(s) > 1 :

${\displaystyle \psi (s):=\prod _{\chi \in {\hat {U}},p\in {\mathcal {P}}}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}\psi _{p}(s),\quad {\text{avec}}\quad \psi _{p}(s):=\prod _{\chi \in {\hat {U}}}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}}$.

Pour tout p premier ne divisant pas N, notons d(p) et h(p) = φ(N)/d(p) les ordres respectifs de l'image et du noyau du morphisme χ ↦ χ(p), de Û dans ℂ*. Alors, l'image de ce morphisme est le groupe des racines d(p)-ièmes de l'unité et chacune de ces racines a h(p) antécédents, donc

${\displaystyle \psi _{p}(s)=\prod _{\eta ^{d(p)}=1}\left(1-\eta p^{-s}\right)^{-h(p)}}$.

En utilisant l'identité polynomiale ${\displaystyle \prod _{\eta ^{d}=1}\left(1-\eta X\right)=1-X^{d}}$ et la formule du binôme négatif, on trouve ainsi :

${\displaystyle \psi _{p}(s)=(1-p^{-d(p)s})^{-h(p)}=\sum _{k=0}^{\infty }{h(p)+k-1 \choose k}p^{-kd(p)s}}$.

Par conséquent,

${\displaystyle \psi (s)=\prod _{p\in {\mathcal {P}}{\text{ et }}p\nmid N}\sum _{k=0}^{\infty }{h(p)+k-1 \choose k}p^{-kd(p)s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$,

où tous les a_n sont des entiers naturels. On en déduit deux faits :

• l'abscisse de convergence de cette série de Dirichlet est égale à son abscisse d'holomorphie (d'après un théorème de Landau, par positivité des a_n) ;
• cette abscisse de convergence est ≥ 0, car${\displaystyle \psi (0)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$diverge puisqu'une infinité des entiers naturels a_n sont non nuls (par exemple parce que le coefficient de p^–d(p)s est h(p) et qu'il y a une infinité de nombres premiers).

Par conséquent, l'abscisse d'holomorphie de ψ est différente de –∞, donc ψ n'est pas prolongeable en une fonction entière. Il n'existe donc, parmi les caractères modulo N, aucun χ dont la fonction L puisse admettre 1 pour racine et venir ainsi compenser le pôle simple de la fonction L du caractère principal.