Groupe triangulaire

Soient ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$ des entiers supérieurs à 1. Un groupe triangulaire ${\displaystyle \Delta (l,m,n)}$, ou simplement ${\displaystyle (l,m,n)}$, est un groupe de transformations du plan euclidien, de la sphère bidimensionnelle, du plan projectif réel ou du plan hyperbolique engendré par les réflexions par rapport aux côtés d'un triangle d'angles ${\displaystyle {\frac {\pi }{l}}}$, ${\displaystyle {\frac {\pi }{m}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}$.

Le produit des réflexions par rapport à deux côtés est une rotation d'un angle égal au double de l'angle entre ces côtés, soit ${\displaystyle {\frac {2\pi }{l}}}$, ${\displaystyle {\frac {2\pi }{m}}}$ ou ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$. Si l'on note ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$ ces réflexions génératrices et 1 l'identité, alors :

${\displaystyle a^{2}=b^{2}=c^{2}=1}$

${\displaystyle (ab)^{n}=(bc)^{l}=(ca)^{m}=1}$

On peut démontrer que toutes les autres relations entre ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$ sont des conséquences de ces deux relations, et que ${\displaystyle \Delta (l,m,n)}$ est un groupe discret d'isométries de l'espace correspondant. Un groupe triangulaire est ainsi un groupe de réflexions (en) admettant la présentation :

${\displaystyle \Delta (l,m,n)=\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{n}=(bc)^{l}=(ca)^{m}=1\rangle }$

Un groupe abstrait ayant cette présentation est un groupe de Coxeter à trois générateurs.

Le groupe modulaire PSL(2, ℤ) peut être considéré comme le groupe triangulaire ${\displaystyle \Delta (2,3,\infty )}$^[1].