Pavage de la sphère

Icosaèdre tronqué et ballon de football.
Ballon de plage (hosoèdre (en) à six faces si l'on réduit à néant les disques blancs).
Découpage de la sphère par des méridiens et des parallèles.

Un pavage de la sphère est un ensemble de portions de la surface d'une sphère dont l'union est la sphère entière, sans recouvrement. En pratique on s'intéresse surtout aux pavages réalisés avec des polygones sphériques (des portions de surface délimitées par des arcs de grand cercle), dénommés polyèdres sphériques.

Les pavages les plus connus sont le ballon de football, que l'on peut assimiler à un icosaèdre tronqué, et le ballon de plage, assimilable à un hosoèdre (en). Un autre pavage bien connu est celui délimité par des méridiens et des parallèles, mais il n'utilise pas que des arcs de grand cercle.

Une question apparemment anodine concerne le nombre de couleurs nécessaire au coloriage des différentes portions de surface (ou régions), de telle sorte que deux régions limitrophes (c'est-à-dire, ayant une frontière commune) ne reçoivent pas la même couleur. On sait depuis longtemps qu'en pratique il suffit de quatre couleurs, mais c'est une conjecture énoncée en 1852 qui n'a été démontrée qu'en 1976 (théorème des quatre couleurs)^[a].

Pavages générés par des polyèdres réguliers ou semi-réguliers

Pavage de la sphère par des triangles (icosaèdre déformé).

On peut paver la sphère en projetant depuis son centre n'importe quel polyèdre régulier ou semi-régulier (ou son dual) de même centre. Chacun de ces polyèdres sphériques peut être caractérisé par son symbole de Schläfli $\{p,q\}$ ou par sa figure de sommet $a.b.c\dots$ .

Symbole de Schläfli	{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	t{q,p}	{q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Figure de sommet	p^q	q.2p.2p	p.q.p.q	p. 2q.2q	q^p	q.4.p. 4	4.2q.2p	3.3.q.3.p
Tétraédrique (3 3 2)	3³	3.6.6	3.3.3.3	3.6.6	3³	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3.3
Tétraédrique (3 3 2)	3³	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	3³	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3
Octaédrique (4 3 2)	4³	3.8.8	3.4.3.4	4.6.6	3⁴	3.4.4.4	4.6.8	3.3.3.3.4
Octaédrique (4 3 2)	4³	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	3⁴	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4
Icosaédrique (5 3 2)	5³	3.10.10	3.5.3.5	5.6.6	3⁵	3.4.5.4	4.6.10	3.3.3.3.5
Icosaédrique (5 3 2)	5³	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	3⁵	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5
Diédrique Exemple p = 6 (2 2 6)	6² (en)	2.12.12 (en)	2.6.2.6 (en)	6.4.4	2⁶ (en)	4.6.4	4.4.12	3.3.3.6

Classe	2	3	4	5	6	7	8	10
Prisme (2 2 p)
Bipyramide (2 2 p)
Antiprisme
Trapézoèdre

Cas dégénérés

On peut aussi paver la sphère par des polyèdres sphériques dégénérés, tels que les hosoèdres (en) (symbole de Schläfli : $\{2,n\}$ ) et les dièdres sphériques (en) réguliers ( $\{n,2\}$ ).

Hosoèdres réguliers
Coxeter

Schläfli	{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}...
Faces et arêtes	1	2	3	4	5	6	7	8
Sommets	2

Dièdres sphériques réguliers

Schläfli	h{2,2}={1,2}	{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}...
Coxeter
Faces	2 {1}	2 {2}	2 {3}	2 {4}	2 {5}	2 {6}
Arêtes et sommets	1	2	3	4	5	6

Correspondance avec le pavage du plan projectif

Les polyèdres sphériques ayant au moins une symétrie d'inversion sont liés aux polyèdres projectifs (en)^[1], qui permettent le pavage du plan projectif.

Les polyèdres projectifs les mieux connus sont les polyèdres projectifs réguliers (quotients des solides de Platon à symétrie centrale), ainsi que deux classes infinies de dièdres sphériques (en) pairs et d'hosohèdres (en)^[2] :

l'hémicube (en), {4,3}/2 ;
l'hémioctaèdre (en), {3,4}/2 ;
hémidodécaèdre (en), {5,3}/2 ;
l'hémi-icosaèdre (en), {3,5}/2 ;
l'hémidièdre, {2p,2}/2, p ≥ 1 ;
l'hémihosoèdre, {2,2p}/2, p ≥ 1.

Pavage par des quadrilatères curvilignes

On peut paver la sphère par des quadrilatères curvilignes découpés par deux familles de courbes, notamment deux familles orthogonales (chaque courbe de la première famille coupe celles de la seconde à angle droit) ou plus généralement isogonales (l'angle d'intersection des courbes des deux familles est constant).

Le plus utilisé de ces pavages est celui formé par des méridiens et des parallèles, qu'on peut d'ailleurs appliquer à n'importe quelle surface de révolution (ellipsoïde, tore, etc.). En planétologie les quadrilatères du pavage sont dénommés quadrangles.

Quand un potentiel $V(\theta ,\varphi )$ (où $θ$ et $φ$ sont la colatitude et la longitude) a été défini sur la sphère, les équipotentielles et les lignes de champ constituent deux familles orthogonales qui peuvent servir à paver la sphère^[b].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Spherical polyhedron » (voir la liste des auteurs).

Notes

↑ La question du coloriage est la même pour la sphère que pour le plan. On peut s'en rendre compte en retirant de la sphère un point intérieur à l'une des régions, et en effectuant depuis ce point une projection stéréographique.
↑ Le pavage de la Terre par des méridiens et des parallèles en est un cas particulier, en prenant comme potentiel $V=\theta$ (les lignes de champ sont les méridiens, orientés du pôle Nord vers le pôle Sud). Si l'on prend comme potentiel le potentiel scalaire du champ magnétique terrestre, les lignes de champ sont partout parallèles à la composante horizontale du champ magnétique. Le champ terrestre n'étant que très approximativement dipolaire, les courbes des deux familles ne sont pas circulaires.

Références

↑ Peter McMullen (en) et Egon Schulte, « 6C. Projective Regular Polytopes », dans Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, décembre 2002, 1^re éd., 162-165 p. (ISBN 0-521-81496-0, lire en ligne).
↑ Coxeter, « 21.3 Regular maps », dans Introduction to geometry, 1969, 2^e éd., 386-388 p..