Espace de Wiener abstrait

Pour comprendre l’idée de l’espace de Wiener abstrait, il est utile de rappeler l’historique et la construction des espaces de Wiener classiques. Pour les aspects de théorie de la mesure en espaces vectoriels topologiques, on pourra consulter la Théorie de la mesure dans les espaces vectoriels topologiques

Pour un espace vectoriel topologique ${\displaystyle (E,\tau )}$, on note ${\displaystyle E'}$ son dual topologique et ${\displaystyle E^{*}}$ son dual algébrique.

Partant du mouvement brownien, Norbert Wiener construisit en 1923 une mesure gaussienne ${\displaystyle \gamma }$ sur l’espace de fonctions

${\displaystyle C:=\{f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d}\mid f{\text{ continue}},;f(0)=0\}.}$

On peut choisir comme σ-algèbre la tribu borélienne ou la tribu cylindrique, qui coïncident dans ce cas, ce qui n’est pas vrai en général dans des espaces infiniment dimensionnels.

Équipé de la norme infini

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \limits _{t\in [0,1]}|f(t)|}$

${\displaystyle C}$ devient un espace de Banach, car [0,1] est compact et les fonctions sont continues. Pour des fonctions ${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} ^{d}}$, on obtient un espace métrique complet et séparable mais pas un Banach. Il faut alors ajouter la condition ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }t^{-1}|f(t)|=0}$.

En 1930, Wiener introduisit l’intégrale sur cet espace pour l’analyse harmonique généralisée^[2] :

${\displaystyle \int _{C}F[f]\gamma (df),}$

aujourd’hui considéré comme l’« intégrale de Wiener originale ». Un fonctionnel de Wiener est une application ${\displaystyle F:C\to \mathbb {R} }$. La dérivation naturelle est le différentiel de Gâteaux :

${\displaystyle D_{g}F:=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F[f+\tau g]-F[f]}{\tau }},\quad g\in C.}$

Cependant, cette dérivée n’existe pas pour tous ${\displaystyle g\in C}$, mais seulement pour un sous-espace approprié ${\displaystyle H\subset C}$, ce qui motive le calcul de Malliavin. En calcul de Malliavin, la notion de dérivée est définie le long des directions de Cameron-Martin ${\displaystyle h\in H}$, où ${\displaystyle H}$ désigne l’espace de Cameron-Martin associé à la mesure gaussienne considérée.

Il existe même un sous-espace ${\displaystyle G\subset C}$ de mesure “pleine”, au sens où ${\displaystyle \gamma (G)=1}$, mais dont les translatés dans l’espace de Wiener sont “vides” : pour tout élément ${\displaystyle g\in G}$, on a

${\displaystyle \gamma (g+C)=0.}$

Soit ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel topologique localement convexe et de Hausdorff, et ${\displaystyle H\subset E}$ un espace de Hilbert continûment et injectivement incorporé :

${\displaystyle t:H\hookrightarrow E.}$

Le théorème de représentation de Riesz-Fréchet assure que ${\displaystyle H}$ est isomorphe à son dual ${\displaystyle H'}$, et l’application adjointe

${\displaystyle t^{*}:E'\to H}$

est continue.

La composition ${\displaystyle R:=tt^{*}}$ définit un opérateur linéaire :

${\displaystyle R:E'\to E,}$

appelé opérateur reproduisant. L’espace de Hilbert associé est le espace de Hilbert à noyau reproduisant (RKHS), et il existe une correspondance biunivoque entre opérateurs reproduisants et leurs espaces de Hilbert^[3].

Pour une mesure gaussienne ${\displaystyle \gamma }$ sur E, le opérateur de covariance ${\displaystyle R_{\gamma }:E'\to (E')^{*}}$ est défini par

${\displaystyle R_{\gamma }(f)(g)=\int _{E}(f-\mathbb {E} _{\gamma }[f])(g-\mathbb {E} _{\gamma }[g])d\gamma (x),\quad f,g\in E'.}$

Il s’agit d’un opérateur reproduisant, et le espace de Hilbert induit ${\displaystyle H_{\gamma }\subset E}$ est appelé espace de Cameron–Martin^[4]. On appelle covariance l’application définie par

${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\gamma }(f,g):=R_{\gamma }(f)(g)}$

Le théorème de Cameron–Martin affirme que les translations ${\displaystyle \gamma _{m}(A)=\gamma (A+m)}$ avec ${\displaystyle m\in H_{\gamma }}$ conservent l’absolue continuité par rapport à ${\displaystyle \gamma }$^[5].

De manière équivalente ${\displaystyle H_{\gamma }}$ peut aussi être caractérisé comme l’image du premier chaos de Wiener (décomposition du chaos de Wiener)

${\displaystyle E_{a}^{\gamma }={\overline {\{f-E[f]:f\in E'\}}}_{L^{2}(\gamma )}}$

par l’opérateur ${\displaystyle S=t^{*}}$ où ${\displaystyle t^{*}\colon E'\to L^{2}(E,\gamma )}$, c’est-à-dire

${\displaystyle H_{\gamma }=S(E_{a}^{\gamma })\subset E.}$

Leonard Gross a ensuite reconnu que non seulement l’espace de Hilbert ${\displaystyle H_{\gamma }}$ joue un rôle fondamental, mais aussi la relation entre cet espace de Hilbert et l’espace de Banach dans lequel il est plongé, à savoir ${\displaystyle H_{\gamma }\subseteq B}$. Cependant, au lieu de considérer la norme hilbertienne, il a introduit une norme plus faible, dite norme mesurable, telle que ${\displaystyle B}$ soit la complétion de ${\displaystyle H_{\gamma }}$ pour cette norme. On parle aujourd’hui également de mesurabilité au sens de Gross.

Soit ${\displaystyle H}$ un espace de Hilbert réel séparable et ${\displaystyle H'}$ son dual topologique, muni de l’algèbre cylindrique ${\displaystyle {\mathcal {Cyl}}(H,F)}$ associée à un sous-espace ${\displaystyle F\subseteq H'}$ et de la mesure de Wiener cylindrique canonique ${\displaystyle \gamma }$ définie sur cette algèbre. On note par ailleurs ${\displaystyle {\mathcal {P}}(H)}$ l’ensemble de toutes les projections orthogonales sur ${\displaystyle H}$ dont l’image est de dimension finie.

Une semi-norme ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ sur ${\displaystyle H}$ est dite Gross-mesurable ou simplement mesurable si, pour tout réel ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe une projection orthogonale de dimension finie ${\displaystyle P{\varepsilon }}$ telle que, pour toute projection ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}(H)}$ orthogonale à ${\displaystyle P_{\varepsilon }}$, c’est-à-dire satisfaisant ${\displaystyle PP_{\varepsilon }=0}$, l’inégalité

${\displaystyle \gamma \left(\{x\in H:\|Px\|_{1}>\varepsilon \}\right)<\varepsilon }$

soit vérifiée. Ici, ${\displaystyle \gamma }$ désigne la mesure de Wiener cylindrique canonique sur ${\displaystyle H}$^[6].

La semi-norme ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ n’est pas nécessairement la norme induite par le produit scalaire ${\displaystyle \|\cdot \|_{H}}$ de l’espace de Hilbert.

Un espace de Wiener abstrait est un triplet ${\displaystyle (H,B,i)}$ où :

• ${\displaystyle H}$ est un espace de Hilbert réel séparable,
• ${\displaystyle B}$ est un espace de Banach séparable complété selon une norme mesurable ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$,

• ${\displaystyle i:H\to B}$ est une injection linéaire continue avec image dense, telle que ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ soit Gross-mesurable^[7].

L’espace B permet d’étendre une mesure gaussienne cylindrique sur H en une mesure σ-additive sur B, et H est alors l’espace de Cameron–Martin associé.

Soit ${\displaystyle (H,B,i)}$ un espace de Wiener abstrait et ${\displaystyle \gamma }$ une mesure gaussienne cylindrique sur ${\displaystyle H}$. Alors ${\displaystyle \gamma \circ i^{-1}}$ est une mesure cylindrique σ-additive sur ${\displaystyle B}$, respectivement sur l’algèbre cylindrique ${\displaystyle {\mathcal {Cyl}}(B,B')}$. De plus, on peut montrer que ${\displaystyle H}$ est également l’espace de Cameron–Martin associé à la mesure ${\displaystyle \gamma }$ sur ${\displaystyle B}$^[8].

Pour le classique espace de Wiener C, on a

${\displaystyle H_{\gamma }=\{h\in C:h{\text{ absolument continu}},h'\in L^{2}([0,1])\}}$

et ${\displaystyle (H_{\gamma },C,i)}$ constitue un espace de Wiener abstrait.

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