Moyenne quasi-arithmétique

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction d'un intervalle ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ dans les nombres réels, continue et injective.

La moyenne selon la fonction f (ou f - moyenne) des ${\displaystyle n}$ nombres ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$ est définie par ${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)}$, que l'on peut aussi écrire

${\displaystyle M_{f}({\vec {x}})=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\right)}$

Il est nécessaire que ${\displaystyle f}$ soit injective pour que son inverse ${\displaystyle f^{-1}}$ soit définie. Comme ${\displaystyle f}$ est continue et ${\displaystyle I}$ est un intervalle, ${\displaystyle {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}}$ appartient bien à l'ensemble de définition ${\displaystyle f(I)}$ de ${\displaystyle f^{-1}}$, car ce dernier est un intervalle.

Comme ${\displaystyle f}$ est injective et continue, elle est strictement monotone, d'où il découle que la moyenne selon f est toujours comprise entre le minimum et le maximum des nombres en argument :

${\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant M_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

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Dans les exemples suivants, ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ou ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$.

• Pour ${\displaystyle f(x)=ax+b}$, la moyenne selon f correspond à la moyenne arithmétique quels que soient ${\displaystyle a\neq 0}$ et ${\displaystyle b}$ (voir la propriété d'invariance d'échelle infra).
• Pour ${\displaystyle f(x)=\log _{a}x}$, la moyenne selon f correspond à la moyenne géométrique quelle que soit la base du logarithme dès lors que celle-ci est positive et différente de 1.
• Pour ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$, la moyenne selon f correspond à la moyenne harmonique.
• Pour ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$, la moyenne selon f correspond à la moyenne d'ordre ${\displaystyle p}$.
• Pour ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$, la ${\displaystyle f}$-moyenne est une version décalée d'une constante de la fonction LogSumExp (en) : ${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathrm {LSE} (x_{1},\dots ,x_{n})-\ln(n)}$. Le ${\displaystyle -\ln(n)}$ correspond à la division par ${\displaystyle n}$.
• Par contre, la moyenne logarithmique n'est pas une moyenne quasi-arithmétique ^[4].

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Les propriétés suivantes sont exactes pour toute fonction ${\displaystyle f}$ satisfaisant à la définition ci-dessus :

Symétrie : La valeur de ${\displaystyle M_{f}}$ est invariante par permutation de ses arguments.

Point fixe : ${\displaystyle \forall x\in I,M_{f}(x,\dots ,x)=x}$.

Croissance : ${\displaystyle M_{f}}$ est croissante en chacune de ses variables ${\displaystyle x_{i}}$ (puisque ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle f^{-1}}$ sont monotones de même sens).

Continuité : ${\displaystyle M_{f}}$ est continue en chacune de ses variables (puisque ${\displaystyle f}$ est continue).

Substitution : n'importe quel ensemble formé par ${\displaystyle k}$ de ses arguments peut être remplacé par sa ${\displaystyle f}$-moyenne répétée ${\displaystyle k}$ fois, sans changer le résultat de la ${\displaystyle f}$-moyenne globale. Si l'on note ${\displaystyle m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})}$ on a ainsi:

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})=M_{f}(\underbrace {m,\dots ,m} _{k{\text{ fois}}},x_{k+1},\dots ,x_{n})}$

Partitionnement (ou associativité) : Le calcul de la moyenne selon f peut être séparé en plusieurs calculs de sous-ensembles de même taille :

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{nk})=M_{f}(M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{f}(x_{k+1},\dots ,x_{2k}),\dots ,M_{f}(x_{(n-1)k+1},\dots ,x_{nk}))}$

Auto-distributivité : Pour toute moyenne de Kolmogorov ${\displaystyle M}$ de deux arguments, on a :

${\displaystyle M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))}$.

Médialité : Pour toute moyenne de Kolmogorov ${\displaystyle M}$ de deux arguments, on a :

${\displaystyle M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))}$.

Équilibrage : Pour toute moyenne de Kolmogorov ${\displaystyle M}$ de deux arguments, on a :

${\displaystyle M\left(M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y))\right)=M(x,y)}$.

Invariance d'échelle : La moyenne de Kolmogorov est invariante par translation et homothétie de la fonction ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \forall a,\ \forall b\neq 0,((\forall t,\ g(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \forall x;\ M_{f}(x)=M_{g}(x)}$.

Il existe plusieurs ensembles de propriétés qui caractérisent la moyenne de Kolmogorov (c'est-à-dire que pour toute fonction ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ satisfaisant ces propriétés, il existe une fonction ${\displaystyle f}$ telle que ${\displaystyle {\mathcal {M}}=M_{f}}$).

• La médialité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de Kolmogorov^{[5]:chapitre 17}.
• L'auto-distributivité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de Kolmogorov^{[5]:chapitre 17}.
• Kolmogorov a démontré que les cinq propriétés de symétrie, point fixe, croissance, continuité et substitution caractérisent entièrement une moyenne de Kolmogorov ^[6].
• Équilibrage: Une question intéressante consiste à savoir si cette propriété peut remplacer celle de substitution parmi les propriétés précédentes, c'est-à-dire si les cinq propriétés de symétrie, point fixe, croissance, continuité et équilibrage suffisent à caractériser une moyenne de Kolmogorov. Georg Aumann (en) a démontré dans les années 1930 que la réponse, en général, est non ^[7], mais qu'il suffit d'ajouter l'hypothèse que ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ soit analytique pour que ce soit le cas^[8].

Les moyennes sont habituellement homogènes, mais pour presque toutes les fonctions ${\displaystyle f}$, la moyenne selon f ne l'est pas. En fait, les seules moyennes de Kolmogorov homogènes sont les moyennes d'ordre p (Hardy–Littlewood–Pólya).

La propriété d'homogénéité peut cependant être obtenue en normalisant les arguments par une moyenne (homogène) ${\displaystyle C}$.

${\displaystyle M_{f,C}(x)=C(x)\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{C(x)}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{C(x)}}\right)}{n}}\right)}$

Cependant, cette modification peut violer les propriétés de croissance et de partitionnement.