Nombre de Descartes

En théorie des nombres, un nombre de Descartes est un nombre impair qui serait un nombre parfait impair, si l'un de ses diviseurs composés était considéré comme premier. Ces nombres portent le nom de René Descartes qui a observé que le nombre D = 3²7²⋅11²⋅13²⋅22 021 = (3⋅1 001)² ⋅ (22⋅1001 − 1) = 198 585 576 189 serait un nombre parfait impair si son diviseur 22 021 était premier ; en effet, la somme de ses diviseurs serait égale à son double :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11+1)\cdot (13^{2}+13+1)\cdot (22021+1)\\&=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)\\&=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)\\&=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021\\&=2D.\end{aligned}}}$

Mais 22 021 est composé (22 021 = 19² ⋅ 61).

Un nombre de Descartes est donc défini comme étant un nombre impair n = m ⋅ p où m et p sont premiers entre eux, p non premier et 2n = σ(m) ⋅ (p + 1) ; en effet, si p était premier, on aurait ${\displaystyle \sigma (n)=2n}$.