Nombre multicomplexe (Fleury)

Soit un élément e^{[note 1]} tel que eⁿ = −1 et tel que (1,e,e²,…,eⁿ⁻¹) soit une famille libre : 𝓜ℂ_n est alors défini comme l’algèbre réelle générée par cette famille^{[note 2],[1],[2]}.

• Chaque algèbre 𝓜ℂ_n est un cas particulier d’algèbre de Clifford généralisée (en)^[3].
• Comme eⁿ+1 = 0, chaque algèbre 𝓜ℂ_n est canoniquement isomorphe à l’algèbre quotient (en) ℝ[X]/Xⁿ+1.
• Tout nombre multicomplexe de pseudo-norme non nulle peut s’écrire sous forme polaire : ${\displaystyle \textstyle x=\rho \exp(\sum _{i=1}^{n-1}\phi _{i}e^{i})}$^[4].

• Chaque algèbre 𝓜ℂ_n est isomorphe à une somme directe^{[note 3]} impliquant ℝ et ℂ^[5] :
  • si n est pair :

    ${\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n}{2}}{\text{ facteurs}}}=\bigoplus ^{\frac {n}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {C} ^{\frac {n}{2}}\$ ;}

  • si n est impair :

    ${\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \mathbb {R} \oplus \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n-1}{2}}{\text{ facteurs}}}=\mathbb {R} \oplus \bigoplus ^{\frac {n-1}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{\frac {n-1}{2}}=\mathbb {R} \oplus {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n-1}\$ ;}

  • ce que l’on peut écrire de manière compacte : 𝓜ℂ_n ≅ ℝ^{n mod 2} × ℂ^⌊n/2⌋.
• Il s’ensuit immédiatement que :
  • si m et n ne sont pas simultanément impairs, 𝓜ℂ_m ⊕ 𝓜ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_m+n ;
  • si m et n sont simultanément impairs, 𝓜ℂ_m ⊕ 𝓜ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_m+n−2 ⊕ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$^{[note 5]}.
• En utilisant les propriétés précédentes, la distributivité du produit tensoriel d'algèbres ⊗_ℝ par rapport à la somme directe ⊕ et l’isomorphisme^{[note 6]} 𝓜ℂ₄ ≅ ℂ ⊗_ℝ ℂ, on démontre alors aisément que 𝓜ℂ_m ⊗_ℝ 𝓜ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_mn.

• 𝓜ℂ_2ⁿ ≅ ℂ_n.

• 𝓜ℂ_n−1 ⊂ 𝓜ℂ_n.
• ℝ^⌈n/2⌉ ⊂ 𝓜ℂ_n.
• D’où ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$^{⌊(n+1)/4⌋} ⊂ 𝓜ℂ_n.
• ℂ^⌊n/2⌋ ⊂ 𝓜ℂ_n.