Quaternion hyperbolique

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L'algèbre des quaternions hyperboliques est un objet mathématique promu à partir de 1890 par Alexander Macfarlane. L'idée fut mise à l'écart, à cause de la non-associativité de la multiplication, mais elle est reprise dans l'espace de Minkowski. Comme les quaternions de Hamilton, c'est une algèbre réelle de dimension 4.

Une combinaison linéaire^[1]:

${\displaystyle q=a+b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k} }$

est un quaternion hyperbolique si ${\displaystyle a,b,c}$ et ${\displaystyle d}$ sont des nombres réels, et les unités ${\displaystyle 1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} }$ sont telles que :

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {i} \mathrm {j} =-\mathrm {j} \mathrm {i} =\mathrm {k} \\\mathrm {j} \mathrm {k} =-\mathrm {k} \mathrm {j} =\mathrm {i} \\\mathrm {k} \mathrm {i} =-\mathrm {i} \mathrm {k} =\mathrm {j} \\\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =+1\end{cases}}}$

Soit :

${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \mathrm {i} }$	${\displaystyle \mathrm {j} }$	${\displaystyle \mathrm {k} }$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \mathrm {i} }$	${\displaystyle \mathrm {j} }$	${\displaystyle \mathrm {k} }$
${\displaystyle \mathrm {i} }$	${\displaystyle \mathrm {i} }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \mathrm {k} }$	${\displaystyle -\mathrm {j} }$
${\displaystyle \mathrm {j} }$	${\displaystyle \mathrm {j} }$	${\displaystyle -\mathrm {k} }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \mathrm {i} }$
${\displaystyle \mathrm {k} }$	${\displaystyle \mathrm {k} }$	${\displaystyle \mathrm {j} }$	${\displaystyle -\mathrm {i} }$	${\displaystyle 1}$

La différence entre les quaternions et les quaternions hyperboliques est donc la valeur du carré ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=+1}$. Elle vaut ${\displaystyle -1}$ pour les quaternions et ${\displaystyle +1}$ pour les quaternions hyperboliques.

Bien que ces unités ne respectent pas l'associativité, l'ensemble ${\displaystyle \{1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} ,-1,-\mathrm {i} ,-\mathrm {j} ,-\mathrm {k} \}}$ forme un quasigroupe.

Exemple de non-associativité : ${\displaystyle \left(\mathrm {i} \mathrm {j} \right)\mathrm {j} =\mathrm {k} \mathrm {j} =-\mathrm {i} }$ alors que ${\displaystyle \mathrm {i} \left(\mathrm {j} \mathrm {j} \right)=\mathrm {i} \times 1=\mathrm {i} }$.

Si l'on définit le conjugué ${\displaystyle q^{*}}$ de ${\displaystyle q}$ par

${\displaystyle q^{*}=a-b\mathrm {i} -c\mathrm {j} -d\mathrm {k} }$

alors le produit

${\displaystyle \|q\|:=qq^{*}=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}}$ est la forme quadratique utilisée dans l'espace de Minkowski, pour la convention ${\displaystyle +---}$.

Soit ${\displaystyle X(\mathrm {c} t,x,y,z)}$ un point de l'espace temps et ${\displaystyle X^{*}(\mathrm {c} t,x,y,z)}$ son conjugué. ${\displaystyle \|X\|=\mathrm {c} ^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ est le carré de la pseudo-norme de ${\displaystyle X}$ dans l'espace de Minkowski.