Nombre multicomplexe (Segre)
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En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole (n ∈ ℕ) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension 2n sur ℝ. Ils ont été introduits par Corrado Segre en 1892.
Par récurrence
Les algèbres multicomplexes ℂn se construisent par récurrence, en posant ℂ0 = ℝ comme initialisation.
En supposant l’algèbre ℂn−1|n ≥ 1 déjà construite, on introduit une nouvelle unité imaginaire in ∉ ℂn−1 vérifiant i2
n = −1 et commutant avec les précédentes unités imaginaires i1, …, in−1 : on définit alors ℂn = {x + y in | (x,y) ∈ ℂn−12}.
Directe
Pour n ≥ 1, 1 et in commutent avec tout nombre de ℂn−1, et Vect(1,in) ∉ ℂn−1 (car in ∉ ℂn−1).
La relation ℂn = {x + y in | (x,y) ∈ ℂn−12} peut donc se réécrire sous la forme du produit tensoriel d'algèbres ℂn = ℂn−1 ⊗ℝ Vect(1,in).
En outre, puisque i2
n = −1, on a Vect(1,in) ≅ ℂ, d’où ℂn = ℂn−1 ⊗ℝ ℂ.
ℝ étant l’élément neutre de ⊗ℝ, et donc son produit vide, on a donc :
