Foncteur Hom

Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ une catégorie localement petite. Pour tout couple d'objets A et B dans cette catégorie, un morphisme ${\displaystyle f:A\to B}$ induit, pour tout objet X, une fonction

${\displaystyle f\circ -:\mathrm {Hom} (X,A)\to \mathrm {Hom} (X,B)}$.

On peut alors définir :

• le foncteur Hom covariant ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,-):{\mathcal {C}}\to {\mathsf {Set}}}$ (correspondant aux foncteurs représentables) ;
• le foncteur Hom contravariant ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X):{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}}$ ;
• le bifoncteur Hom covariant ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,-):{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathsf {Set}}.}$

Le lemme de Yoneda caractérise la forme des transformations naturelles entre foncteurs Hom.

Certaines catégories possèdent un bi-foncteur similaire à Hom, mais ayant la catégorie elle-même pour codomaine :

${\displaystyle [-,-]:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}.}$

On parle dans ce cas de foncteur Hom interne et on dit qu'il s'agit d'une catégorie fermée. Le foncteur d'oubli permet de retrouver le foncteur Hom « externe » à partir du foncteur Hom interne, ce qui correspond à l'opération de curryfication sur une catégorie monoïdale fermée (en).

La catégorie des groupes, Grp, est localement petite, autrement dit : pour tous groupes G et L, Hom(G,L) est un ensemble, l'ensemble des morphismes de groupes de G dans L. On va illustrer un foncteur "des groupes dans les ensembles". Soit G un groupe fixé. Le foncteur Hom covariant Hom(G,-) est un foncteur de ce type ; il associe à tout groupe L l'ensemble Hom(G,L) et à tout morphisme ${\displaystyle \alpha :L\rightarrow L'}$ l'application ${\displaystyle \varphi \rightarrow \alpha \circ \varphi }$ de Hom(G,L) dans Hom(G,L')^[1].

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]

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