Pavage d'une surface
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Cet article est une ébauche concernant la géométrie.
Un pavage d'une surface est un ensemble de portions de la surface considérée, dont l'union est la surface tout entière, sans recouvrement.
On s'intéresse particulièrement au pavage par des « polygones » (sur une surface non plane, un polygone a pour côtés des segments d'orthodromie, c'est-à-dire des arcs constituant le plus court chemin d'un sommet du polygone au suivant), et notamment par des polygones réguliers.
Les pavages les plus étudiés sont ceux du plan, de la sphère, de l'hyperboloïde et du tore.
Une question apparemment anodine concerne le nombre de couleurs nécessaire au coloriage des différentes portions de surface (ou régions), de telle sorte que deux régions limitrophes (c'est-à-dire, ayant une frontière commune) ne reçoivent pas la même couleur. On sait depuis longtemps qu'en pratique il suffit de quatre couleurs sur le plan ou sur la sphère[a], mais c'est une conjecture énoncée en 1852 qui n'a été démontrée qu'en 1976 (théorème des quatre couleurs).
Sur une surface fermée[b] non homéomorphe à la sphère, Heawood a démontré en 1890 qu'il suffit de p couleurs, avec :
où E désigne la fonction partie entière et χ la caractéristique d'Euler de la surface.
- sphère et plan : χ = 2 donc p = 4 (mais le théorème de Heawood ne s'y applique pas) ;
- tore et bouteille de Klein : χ = 0 donc p = 7 ;
- double tore (en) : χ = −2 donc p = 8 ;
- triple tore (en) : χ = −4 donc p = 9.
Sur la sphère comme sur le tore on trouve facilement des exemples de pavages où p couleurs sont nécessaires. Heawood conjecturait que c'est vrai pour toutes les surfaces, mais Philip Franklin a montré en 1934 que 6 couleurs suffisent toujours pour la bouteille de Klein (alors que p = 7), et aussi qu'elles peuvent être nécessaires (graphe de Franklin).
En 1968, Ringel et Youngs ont finalement démontré que la conjecture de Heawood est vraie pour toute surface fermée autre que la bouteille de Klein, c'est-à-dire qu'on peut tracer sur la surface une carte nécessitant p couleurs.
