Pentagone régulier convexe

Le pentagone régulier convexe est un polygone régulier, c'est-à-dire équilatéral et équiangle. Par conséquent :

• il est isogonal, isotoxal et autodual ;
• il est bicentrique, c'est-à-dire à la fois
  • inscriptible : ses sommets sont cocycliques et
  • circonscriptible : il possède un cercle inscrit, c'est-à-dire qu'il existe un cercle tangent à chacun de ses côtés ;
• les cercles inscrit et circonscrit ont même centre.

Il est convexe, ce qui le distingue du seul autre pentagone régulier, le pentagramme, qui est étoilé. On peut dessiner un pentagramme régulier en reliant les sommets d'un pentagone régulier par ses diagonales. Les côtés du pentagramme sont parallèles aux côtés du pentagone (utiliser des triangles isocèles et des angles alternes-internes de la figure).

Ils sont indépendants de la taille du pentagone.

• Angle au centre = angle externe : 360/5 = 72°
• Angle interne : 180×(5-2)/5 = 540/5 = 108°, car :
• Somme des angles internes de tout pentagone simple : 180×(5-2) = 540°

La construction du pentagone régulier à la règle et au compas fait apparaître le nombre d'or représenté par la suite par la lettre grecque φ ("phi")

${\displaystyle \varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1,618~034}$

${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}}$

Quelques caractéristiques^[1] du pentagone régulier convexe de côté a :

• Périmètre :

  ${\displaystyle P=5~a}$

• Aire :

  ${\displaystyle A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {15+20\varphi }}\approx 1,720~a^{2}}$

  (cot étant la fonction cotangente)

• Apothème = rayon du cercle inscrit :

  ${\displaystyle r={a \over 2}\cot {\pi \over 5}={a \over 10}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}={a \over 10}{\sqrt {15+20\varphi }}\approx 0,688~a}$

• Rayon du cercle circonscrit :

  ${\displaystyle R={a \over {2\sin {\pi \over 5}}}={1 \over 10}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}~a={1 \over 5}{\sqrt {10+5\varphi }}~a=\approx 0,851~a}$

• Diagonale (voir à théorème de Ptolémée):

  ${\displaystyle D={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~a=\varphi ~a\approx 1,618~a}$

• Hauteur :

  ${\displaystyle H=R+r={1 \over 2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}~a={1 \over 2}{\sqrt {3+4\varphi }}~a\approx 1,539~a}$

• Distance entre un côté et la diagonale parallèle à ce côté :

  ${\displaystyle d_{1}={\sqrt {{5+{\sqrt {5}}} \over 8}}~a={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~a\approx 0,951~a}$

• Distance entre une diagonale et le sommet le plus proche extérieur à la diagonale :

  ${\displaystyle d_{2}={\sqrt {{5-{\sqrt {5}}} \over 8}}~a={{\sqrt {3-\varphi }} \over 2}~a\approx 0,588~a}$

• Côté :

  ${\displaystyle a=2R\sin {\pi \over 5}={\sqrt {{5-{\sqrt {5}}} \over 2}}~R={\sqrt {3-\varphi }}~R\approx 1,176~R}$

• Diagonale :

  ${\displaystyle D={\sqrt {2+\varphi }}~R={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}~R\approx 1,902~R}$

• Hauteur :

  ${\displaystyle H=R+r={{5+{\sqrt {5}}} \over 4}~R}$

• Distance entre un côté et la diagonale parallèle à ce côté :

  ${\displaystyle d_{1}={{\sqrt {5}} \over 2}~R\approx 1,118~R}$

• Distance entre une diagonale et le sommet le plus proche extérieur à la diagonale:

  ${\displaystyle d_{2}={{5-{\sqrt {5}}} \over 4}~R\approx 0,691~R}$

• Aire:

  ${\displaystyle A={{5a\varphi } \over 4}~R}$