Propriété virtuelle
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En mathématiques, plus précisément en algèbre générale et dans l'étude des groupes, l'adverbe virtuellement est utilisé pour indiquer qu'une propriété est valide à indice fini près pour un groupe. Formellement, étant donné une propriété P, un groupe G est dit virtuellement P s'il existe un sous-groupe H de G tel que H a la propriété P et H est d'indice fini dans G. Par exemple, tout groupe fini est virtuellement trivial.
En topologie, une propriété virtuelle est une propriété valide à revêtement fini près. Un exemple célèbre d'une propriété virtuelle des variétés est la démonstration de la conjecture de Haken virtuelle en 2012 par Ian Agol qui lui a valu en 2016 l'attribution du Breakthrough Prize in Mathematics.
Des exemples de propriétés souvent étudiées virtuellement sont le fait d'être abélien, nilpotent, résoluble ou libre. Par exemple : un théorème de Bieberbach affirme qu'un groupe cristallographique est virtuellement abélien, l'alternative de Tits (en) donne une caractérisation des groupes linéaires virtuellement résolubles, et le théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale affirme que les groupes de type fini avec un taux de croissance (en) polynomial sont exactement les groupes virtuellement nilpotents de type fini.
La même terminologie peut aussi être employée lorsque G est un groupe donné et P est la propriété « être isomorphe à G » : on dit d'un groupe virtuellement isomorphe à H qu'il est virtuellement H.
Par la correspondance entre revêtements et sous-groupes du groupe fondamental, cet usage peut aussi être transporté aux variétés ; ainsi, on dit qu'une variété est virtuellement P si elle possède un revêtement fini avec la propriété P.
