Racine carrée de trois

• Il existe deux nombres réels opposés dont le carré est 3 ; autrement dit : 3 possède deux racines carrées, opposées. Par convention, la notation ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ désigne la racine carrée positive de 3, et nécessairement, ${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$ désigne la racine carrée négative de 3. Mais ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ se lit simplement racine carrée de trois, voire plus simplement racine de trois. Dans le corps des nombres complexes, la notation ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ désigne la détermination principale de la racine carrée prise au point 3. Le symbole ${\displaystyle {\sqrt {\quad }}}$ ou ${\displaystyle \surd }$ s’appelle un radical.
• ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ se note également ${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$, qui se lit trois puissance un demi.
• Dans les langages informatiques, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ s'écrit en général sqrt(3), par exemple Math.sqrt(3)en JavaScript.

La racine carrée de 3 est irrationnelle, comme celle de tout entier naturel qui n'est pas un carré parfait (voir l'article détaillé pour des démonstrations).

Au V^e siècle av. J.-C., Théodore de Cyrène aurait démontré des résultats d'incommensurabilité correspondant à l'irrationnalité des racines carrées des entiers de 3 à 17^[1],[2].

${\displaystyle {\sqrt {3}}=1{,}732~050~8\cdots }$ ; ses décimales forment la suite A002194 de l'OEIS.

Dix milliards de décimales ont été calculées en 2013^[3].

On conjecture que, comme tout irrationnel algébrique, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ est un nombre normal, à savoir que toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence) apparaît avec la même fréquence limite que toute séquence de même longueur^[4].

La méthode de Bombelli utilisant pour ${\displaystyle a>0}$ la relation ${\displaystyle {\sqrt {3}}=a+{\frac {3-a^{2}}{a+{\sqrt {3}}}}}$ permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée : ${\displaystyle {\sqrt {3}}=\ a+{\frac {3-a^{2}}{2a+{\frac {3-a^{2}}{2a+{\frac {3-a^{2}}{2a+{\frac {3-a^{2}}{2a+\ldots }}}}}}}}=1+{\frac {3-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+{\frac {3-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+\cdots }$

Pour ${\displaystyle a=1}$, on obtient :

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\ 1+{\frac {2}{2+{\frac {2}{2+{\frac {2}{2+{\frac {2}{2+\ldots }}}}}}}}=1+{\frac {2\mid }{\mid 2}}+{\frac {2\mid }{\mid 2}}+\cdots }$^[5].

En simplifiant par 2 un étage sur deux on obtient le développement en fraction continue simple de √3 (suite A040001 de l'OEIS) :

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\ 1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}}}=[1,1,2,1,2,\dots ]=[1,{\overline {1,2}}]}$.

Ce développement est bien périodique (période de longueur 2) comme pour tout irrationnel quadratique (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le théorème de Legendre est bien vérifié.

Les neuf premières réduites communes à ces deux développements sont :${\displaystyle \ u_{0}=1,\ 2,\ {\frac {5}{3}},\ {\frac {7}{4}},\ {\frac {19}{11}},\ {\frac {26}{15}},\ {\frac {71}{41}},\ {\mathbf {\frac {97}{56}}},\ u_{8}={\frac {265}{153}}.}$

Comme pour toute fraction continue d’un nombre irrationnel, elles constituent les meilleures approximations de √3.

Elles forment la suite ${\displaystyle (u_{n})}$, récurrente homographique, définie par : ${\displaystyle \ u_{0}=1,\ u_{n+1}=1+{\frac {2}{1+u_{n}}}={\frac {u_{n}+3}{u_{n}+1}}}$.

Les deux sous-suites ${\displaystyle (u_{2n}){\text{ et }}(u_{2n+1})}$ sont adjacentes de limite ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ et l'on a ${\displaystyle u_{2n}<{\sqrt {3}}<u_{2n+1}}$.

On en déduit l'encadrement : ${\displaystyle \ u_{8}={\frac {265}{153}}<{\sqrt {3}}<{\frac {1351}{780}}=u_{11}}$ qui était connu d'Archimède^[6],[7]; pour fixer les idées : ${\displaystyle \ u_{8}\approx 1{,}732~026\ ;u_{11}\approx 1{,}732~051}$.

Le rationnel ${\displaystyle u_{n}}$ est égal à ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ où ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ sont les entiers définis par ${\displaystyle (1+{\sqrt {3}})^{n+1}=a_{n}+b_{n}{\sqrt {3}}}$ ; les suites ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$ sont définies par ${\displaystyle a_{0}=b_{0}=1,{\begin{cases}a_{n+1}=a_{n}+3b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\end{cases}}}$^[5].

On en déduit les expressions explicites^[5] :

• ${\displaystyle \forall \ n\geqslant 0,\ u_{n}={\sqrt {3}}{\frac {(1+{\sqrt {3}})^{n+1}+(1-{\sqrt {3}})^{n+1}}{(1+{\sqrt {3}})^{n+1}-(1-{\sqrt {3}})^{n+1}}}}$
• ${\displaystyle \forall \ n\geqslant 2,\ u_{n}={\frac {\left\lfloor (1+{\sqrt {3}})^{n+1}\right\rceil }{\left\lfloor {\frac {(1+{\sqrt {3}})^{n+1}}{\sqrt {3}}}\right\rceil }}}$, où ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rceil }$ signifie l'entier le plus proche de ${\displaystyle x}$.

Les numérateurs réduits ${\displaystyle a'_{n}=a_{n}/2^{\lceil n/2\rceil }}$des ${\displaystyle u_{n}}$ forment la suite A002531 de l'OEIS, et les dénominateurs réduits ${\displaystyle b'_{n}=b_{n}/2^{\lceil n/2\rceil }}$ la suite A002530 de l'OEIS.

La méthode de Bombelli pour ${\displaystyle a=2}$ conduit à la fraction continue généralisée : ${\displaystyle {\sqrt {3}}=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-\ddots }}}}}}=[2,{\overline {-4,4}}]}$ dont la suite des réduites est la sous-suite ${\displaystyle (u_{2n+1})}$ de ${\displaystyle (u_{n})}$^{[réf. nécessaire]} .

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{6^{n}}}}$ ; voir Coefficient binomial central, Série génératrice.

• ${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}={\sqrt {2+2{\sqrt {2+2{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}$ ; voir Radical imbriqué, Racine carrée.
• ${\displaystyle {\sqrt {3}}={\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3\cdots }}}}}}\ ,\ }$ car ${\displaystyle \ {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}}$.

${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ admet plusieurs expressions trigonométriques :

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\tan {\frac {\pi }{3}}=\cot {\frac {\pi }{6}}=2\sin {\frac {\pi }{3}}=2\cos {\frac {\pi }{6}}=\ 2-\tan {\frac {\pi }{12}},\quad }$ où ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{6}},}$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$ sont des angles exprimés en radians ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{12}}\ \mathrm {rad} =15^{\circ }\right).}$

${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ est un nombre algébrique de polynôme minimal ${\displaystyle X^{2}-3}$, donc un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Les racines cubiques de l'unité sont : ${\displaystyle \ 1,\ {\frac {-1+{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}\ }$ et ${\displaystyle \ {\frac {-1-{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}.}$

• La diagonale d'un cube de côté 1 vaut ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$.
• La hauteur d'un triangle équilatéral de côté 1 vaut ${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$ . Ceci donne un moyen de construction de ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ à la règle et au compas. Cette propriété entraîne les suivantes :
  • l'aire d'un triangle équilatéral de côté 1 vaut ${\displaystyle {\sqrt {3}}/4}$ ; l'aire d'un tétraèdre régulier de côté 1 vaut donc ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ;
  • la distance entre deux côtés opposés d'un hexagone régulier de côté 1 vaut ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ;
  • ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ est le rapport des longueurs des diagonales d'un losange d'angles 60° et 120° ;
  • ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ est le rapport entre la longueur et la largeur de la figure Vesica piscis.

• 
  Diagonale d'un cube unité.
• 
  Rapport entre la hauteur d'un triangle équilatéral et son demi côté.
• 
  Hexagone avec ses cotes relatives.
• 
  Vesica piscis avec son losange 60°-120° inscrit : ${\displaystyle \ CD/AB={\sqrt {3}}}$.