Radiale d'une courbe

On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière.

Pour une courbe paramétrée (x(t), y(t)), sa radiale en un point O(x₀, y₀) est la courbe paramétrée par :

${\displaystyle {\begin{cases}X(t)&=x_{0}-{\dfrac {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}y'(t)\\Y(t)&=y_{0}+{\dfrac {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}x'(t)\end{cases}}}$

La radiale d'une courbe algébrique est une courbe algébrique de même degré que sa développée.

On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière. Si elle est paramétrée par l'abscisse curviligne sous la forme ${\displaystyle {\vec {f}}(s)}$, le centre de courbure s'obtient en posant

${\displaystyle {\vec {g}}(s)={\overrightarrow {O\Omega (s)}}={\vec {f}}(s)+\gamma (s)^{-1}{\vec {N}}(s)}$

où ${\displaystyle \Omega }$ est le centre de courbure, ${\displaystyle \gamma }$ la courbure et ${\displaystyle {\vec {N}}}$ le vecteur normal au point ${\displaystyle {\vec {f}}(s)}$.

Le vecteur dérivé de la radiale est

${\displaystyle {\vec {g'}}(s)=\gamma (s)^{-1}{\vec {N'}}(s)-{\frac {\gamma '(s)}{\gamma (s)^{2}}}{\vec {N}}(s)=-{\vec {T}}(s)-{\frac {\gamma '(s){\vec {N}}(s)}{\gamma (s)^{2}}}}$

en utilisant les formules de Frenet.

• 
  Une ellipse, sa développée (en bleu) et sa radiale (en rouge)
• 
  Une cycloïde, sa développée (en bleu) et sa radiale (en rouge)