53平均律

この分割への理論的な関心は古代にさかのぼる。中国の音楽理論家である京房（78BC-37BC）は、53個の完全五度の連鎖 ${\displaystyle \left(3/2\right)^{53}}$ が、31オクターヴ ${\displaystyle \left(2/1\right)^{31}}$ にほぼ等しいことを発見した。彼は6桁の精度で差を算出し ${\displaystyle {\frac {177147}{176776}}}$ とした（京房の六十律）^[1]。

その後、同じ発見が、数学者および音楽理論家であるニコラス・メルカトル (Nicholas Mercator, c. 1620-1687) によってなされ、彼はこの値を ${\displaystyle {\frac {3^{53}}{2^{84}}}=19383245667680019896796723/19342813113834066795298816}$ として正確に算出し、メルカトルのコンマとして知られている^[2]。メルカトルのコンマは、約3.6150セント (≈ 1/332 オクターヴ)という小さな値であるが、53平均律は、そのコンマの1/53倍 (≈ 0.0682 セント ≈ 1/315 シントニックコンマ ≈ 1/344 ピタゴラスコンマ)だけ各々の完全五度を補正し平準化する。したがって、53平均律は、すべての実際上の目的に対してピタゴラス音律の拡張と等価といえる。

メルカトルの後、ウィリアム・ホルダー（英語版）は、1694年の論文で、53平均律が、長三度を1.4セント以内によく近似することを指摘した。したがって、53平均律はまた、 5限界（英語版）純正律の音程を高い精度で代表する^[3][4]。53平均律のこの性質は、より以前に知られていたかもしれない。アイザック・ニュートンの未出版の手稿は、彼が1664-65年頃すでにそれに気づいていたことを示唆する^[5]。