Τ (数学定数)

Summarize Timeline Fact Check

提唱者であるBob Palais^[1]とMichael Hartl^[2]によれば${\displaystyle \pi }$の代わりに

${\displaystyle \tau =2\pi }$

を採用する利点として以下のものがある：

• ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$回転の角度は${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$τラジアンとなりわかりやすい^[1][2]。
• 円周の長さの${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$は${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$τとなりわかりやすい^[2]。
• 三角関数の周期も${\displaystyle \sin(x+\tau )=\sin x}$となりわかりやすい^[1][2]

また上記3つに${\displaystyle \tau }$が登場する事により、多くの数学公式は${\displaystyle \tau =2\pi }$を含んだものになっているので、これらの記述も簡素化される。例えば以下のものははこの例に当たる：

• オイラーの公式^[1][2]
• スターリングの公式^[1]
• コーシーの積分公式^[1][2]
• ガウス分布^[1][2]
• フーリエ変換^[2]
• リーマンゼータ関数の偶数における値^[2]

物理学でも以下の例がある：

• ディラック定数^[1]
• 角周波数^[1]

円の面積${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\tau r^{2}}$は${\displaystyle \pi r^{2}}$よりも複雑になるが、これは円周の長さ${\displaystyle \tau r}$を半径${\displaystyle r}$で積分したものであるので、運動エネルギー${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$や自由落下${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}gt^{2}}$のような積分から求まる他の公式との類似性がむしろはっきりする^[1][2]。

Hartlによれば、以下の理由により${\displaystyle \tau }$の文字を採用した。

• ${\displaystyle \tau }$は1回転（turn）の角度を表すのでその頭文字^[2]。
• turnの語源であるギリシア語はτόρνος（「旋盤」の意味）なのでその頭文字でもある^[2]。
• 1回転の1/2の（ラジアンによる）角度を表す記号「${\displaystyle \pi }$」は2本の"足"を持つので、1回転の1/1の角度を表す記号は1本足の「${\displaystyle \tau }$」が適している^[2]。

一周を1とする角度の単位「turn」は${\displaystyle \tau }$を使うと自然にラジアンに変換できる。例えば

${\displaystyle 0.38~\mathrm {(turn)} =0.38\tau ~\mathrm {(rad)} }$

である。一方、${\displaystyle \pi }$を用いると変換の際2倍する計算が必要となる。

なお、turnと同じく一周を1とする「回転数」（number of revolutions）についてはISO 80000-3:2019で標準化されており^[3][4]、この記述はSI^[5][6]、JISの規格JIS Z 8000にも採用されている。

また、turnはEU^[7][8]とスイス^[9]では「Vollwinkel」（＝full angleという意味のドイツ語）という名称で法的な単位として定められている^[10][11]。

${\displaystyle \tau }$を採用しているプログラミング言語は下記のとおりである。いずれも「Tau」の名称を採用しているが、Processingは「TWO_PI」という名称もサポートし、Rakuは「τ」という記号もサポートしている。

言語	命令	最初に採用したバージョン	リリース年
C# / .NET	System.Math.Tau and System.MathF.Tau	5.0	2020
Crystal	TAU	0.36.0	2021
Eiffel	math_constants.Tau	Curtiss	リリース前
GDScript	TAU	Godot 3.0	2018
Java	Math.TAU	19	2022
Nim	TAU	0.14.0	2016
Processing	TAU and TWO_PI	2.0	2013
Python	math.tau	3.6	2016
Raku	tau and τ
Rust	core::f64::consts::TAU	1.47.0	2020
Zig	std.math.tau	0.6.0	2019

電卓での採用は以下の通りである。

• Google検索の電卓機能^{[12][注 1]}
• Desmosの電卓機能^[12]
• iPhoneの関数電卓機能^[13]

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

式	πを使った場合	τを使った場合
円の1/4を成す角度	${\displaystyle {\color {orangered}{\frac {\pi }{2}}}{\text{ rad}}}$	${\displaystyle {\color {orangered}{\frac {\tau }{4}}}{\text{ rad}}}$
円周	${\displaystyle C={\color {orangered}2\pi }r}$	${\displaystyle C={\color {orangered}\tau }r}$[注 2]
円の面積	${\displaystyle A={\color {orangered}\pi }r^{2}}$	${\displaystyle A={\color {orangered}{\frac {1}{2}}\tau }r^{2}}$
単位円周半径を持つ正n角形の面積	${\displaystyle A={\frac {n}{2}}\sin {\frac {\color {orangered}2\pi }{n}}}$	${\displaystyle A={\frac {n}{2}}\sin {\frac {\color {orangered}\tau }{n}}}$
n球とn球の体積再帰関係	${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {r}{n}}S_{n-1}(r)}$${\displaystyle S_{n}(r)={\color {orangered}2\pi }rV_{n-1}(r)}$	${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {r}{n}}S_{n-1}(r)}$${\displaystyle S_{n}(r)={\color {orangered}\tau }rV_{n-1}(r)}$[注 3]
コーシーの積分公式	${\displaystyle f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}2\pi }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz}$	${\displaystyle f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}\tau }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz}$
標準正規分布の確率密度関数	${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$	${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}\tau }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$
スターリングの近似	${\displaystyle n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}2\pi }n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$	${\displaystyle n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}\tau }n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$
π乗根	${\displaystyle e^{{\color {orangered}2\pi }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}+i\sin {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}}$	${\displaystyle e^{{\color {orangered}\tau }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}+i\sin {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}}$
プランク定数	${\displaystyle h={\color {orangered}2\pi }\hbar }$	${\displaystyle h={\color {orangered}\tau }\hbar }$
角周波数	${\displaystyle \omega ={\color {orangered}2\pi }f}$	${\displaystyle \omega ={\color {orangered}\tau }f}$
逆格子ベクトル	${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}={\color {orangered}2\pi }N_{mn}}$	${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}={\color {orangered}\tau }N_{mn}}$
断面二次極モーメント	${\displaystyle I_{p}={\frac {{\color {orangered}\pi }d^{4}}{\color {blue}32}}}$	${\displaystyle I_{p}={\frac {{\color {orangered}\tau }d^{4}}{\color {blue}64}}={\frac {\color {orangered}\tau }{4}}\left({\frac {d}{2}}\right)^{4}={\frac {1}{4}}{\color {orangered}\tau }r^{4}}$
フーリエ変換・フーリエ逆変換	${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-{\color {orangered}2\pi }ix\xi }\,dx}$ ${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{{\color {orangered}2\pi }ix\xi }\,d\xi }$	${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-{\color {orangered}\tau }ix\xi }\,dx}$ ${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{{\color {orangered}\tau }ix\xi }\,d\xi }$
無限乗積	${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k={\sqrt {\color {orangered}2\pi }}}$ ${\displaystyle \prod _{p}=({\color {orangered}2\pi })^{2}}$	${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k={\sqrt {\color {orangered}\tau }}}$ ${\displaystyle \prod _{p}={\color {orangered}\tau }^{2}}$

2001年、ユタ大学の数学者Bob Palaisがエッセイ "π is wrong!" の中で、π は円周率として採用するには不自然かつ分かり難い選択であり、円周率としてより自然な定義は半径に対する円周の長さの比であると主張した。Palaisの論文を受け、Michael Hartlは自身のウェブサイト "The τ manifesto" において、この定数の記号としてギリシア文字の${\displaystyle \tau }$を採用することを提唱した。

なお、もとの提唱者であるPalaisは「${\displaystyle \pi }$」の足を3本にした記号「${\displaystyle \pi \!\;\!\!\!\pi }$」を${\displaystyle 2\pi }$を表す記号として提案していたが^[1]、Hartlによる提案を受け、「${\displaystyle \tau }$」の記号を用いる事に賛同した^[2]。またPalaisの提唱以前には1958年に Albert Eagle は π の代わりに τ = π/2 を使うべきだと主張した事もある^[14]。