冪集合

冪集合の元は部分集合・部分集合は冪集合の元

「冪集合の元である ${\displaystyle \textstyle A\in {\mathfrak {P}}(S)}$」は「もとの集合の部分集合である ${\displaystyle \textstyle A\subset S}$」と同義である。

これは定義から明らかである。

一意性

集合 ${\displaystyle \textstyle S}$ が与えられたとき、その冪集合 ${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {P}}(S)}$ は一意に定まる（= 常に 1 つだけ存在する）。

Z公理系において、一意性は冪集合公理・外延性公理・分出公理より導かれる。なお、冪集合公理は冪集合が存在する必要条件^{[注 3]}を公理として直接定めている。

包含関係による順序

冪集合は包含関係を順序として順序集合になる。冪集合を底となる集合、包含関係を順序とする順序集合 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset )}$ （ここでの ${\displaystyle \subset }$ は集合が一致する場合も含む）に順序同型な順序集合は単体様半順序集合 (simplex-like Poset) と呼ばれ、単体の一つの組合せ論的な特徴づけを与える（底となる ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ から空集合を抜いた順序集合を指すこともある）。また、冪集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ に包含関係と逆の順序 ${\displaystyle \subset ^{\mathrm {opp} }}$

${\displaystyle A\subset ^{\mathrm {opp} }B\iff A\supset B}$

を与えた順序集合 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset ^{\mathrm {opp} })}$ は、もとの順序集合 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset )}$ に順序同型で、その対応は補集合をとる操作

${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset ^{\mathrm {opp} })\ni A\ {\stackrel {\simeq }{\longmapsto }}\ A^{c}=S\smallsetminus A\in ({\mathcal {P}}(S),\subset )}$

によって与えられる。またこの対応で、集合の結びと交わりが互いに入れ替わる（双対性：ド・モルガンの法則）、対称差は不変（自己双対性）などを見て取ることができる。

順序集合 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset )}$ の部分集合である集合族

${\displaystyle {\mathfrak {M}}\subset {\mathcal {P}}(S)}$

が与えられたとき、集合族の結びや交わりをとる操作

${\displaystyle \sup({\mathfrak {M}})=\bigcup {\mathfrak {M}}=\bigcup _{m\in {\mathfrak {M}}}m,\quad \inf({\mathfrak {M}})=\bigcap {\mathfrak {M}}=\bigcap _{m\in {\mathfrak {M}}}m}$

は、この集合族に対して包含関係による順序に関する上限と下限を与える。とくに、${\displaystyle S}$ の二つの部分集合 ${\displaystyle A,B}$ について

${\displaystyle A\vee B:=\sup\{A,B\}=A\cup B}$

${\displaystyle A\wedge B:=\inf\{A,B\}=A\cap B}$

を考えることにより、組 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\land ,\lor )}$ は完備束となる。完備束の条件は空で無い部分集合族に対する上限・下限の存在を要求するものであるが、冪集合の束では集合族 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}\subset {\mathcal {P}}(S)}$ が空集合であるときにも

${\displaystyle \sup(\varnothing )=\varnothing ,\quad \inf(\varnothing )=S}$

が冪集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ の中に存在する。

集合代数系

→詳細は「ブール代数」、「集合の代数学」、「有限加法族」、および「集合環」を参照

冪集合に定義される様々な集合演算は、冪集合を代数系として取り扱う手段を与えてくれる。たとえば、集合の結び ${\displaystyle \cup }$ や交わり ${\displaystyle \cap }$ は交換可能で結合的な演算であるから、半群として冪集合を見ることができる。さらに、結びに関する中立元は空集合 ${\displaystyle \emptyset }$ であり、全体集合 ${\displaystyle S}$ が交わりに関する中立元となるので、${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\cup ,\emptyset )}$ や ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\cap ,S)}$ はモノイドである。また、対称差 ${\displaystyle \Delta }$ を与えられた演算とする代数系 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\Delta )}$ は、空集合を単位元とし、補集合を逆元にもつ群になる。

結び ${\displaystyle \cup }$ と交わり ${\displaystyle \cap }$ は互いに他に対して分配的であるので、${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\cup ,\cap )}$ に環の構造を見て取ることができる。とくに冪集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ を、集合の結び、交わり、補集合をとる操作および結び・交わりそれぞれに関する中立元を備えた代数系

${\displaystyle (P(S),\cap ,\cup ,^{\mathrm {c} },\varnothing ,S)}$

と考えたものはブール代数の例を与える。一方、事実として、任意の有限ブール代数は有限集合のべき集合が作るこのブール代数によって同型的に実現することができる。

注釈

出典