イフ合同心

幾何学において、イフ合同心（いふごうどうしん^[1]、英: Yff center of congruence）は三角形の中心の一つである。1987年、ピーター・イフの三角形の中心に関する研究で発見された^[2]。

$A$ の二等辺化線（isoscelizer）とは、それぞれ $AB,AC$ 上の点 $P 1, Q 1$ について、 $△ AP 1 Q 1$ が二等辺三角形となるとき直線 $P 1 Q 1$ のことを指す。 $A$ の内角の二等分線に垂直である。1963年、ピーター・イフによって導入された^[3]。

Yff central triangle

$△ ABC$ について、 $A,B,C$ の二等辺化線をそれぞれ $P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3$ とする。また、 $P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3$ からなる三角形を $△ A'B'C'$ とする。4つの三角形 $△ A'P 2 Q 3, △ Q 1 B'P 3, △ P 1 Q 2 C', △ A'B'C'$ は常に相似である。

$△ A'P 2 Q 3, △ Q 1 B'P 3, △ P 1 Q 2 C', △ A'B'C'$ が合同であるとき、 $△ A'B'C'$ はYff central triangleと呼ばれる^[4]。Yff central triangleの外接円はYff central circleと呼ばれる。

$△ ABC$ について $P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3$ がYff central triangle $△ A'B'C'$ を成すようにとる。二等辺化線 $P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3$ を、 $△ A'P 2 Q 3, △ Q 1 B'P 3, △ P 1 Q 2 C'$ が合同を保つように、平行に動かすと、 $△ A'B'C'$ が点に退化するときがある。この点を $△ ABC$ のイフ合同心という。

性質

イフ合同心はEncyclopedia of Triangle CentersでX(174)として紹介されており、三線座標は以下の式で与えられる^[5]。 $\sec {\frac {A}{2}}:\sec {\frac {B}{2}}:\sec {\frac {C}{2}}$
$△ ABC$ の辺はYff central triangleの傍接円の共通外接線である。
$△ ABC$ の内心を $I$ とする。また、 $∠ BID = ∠ DIC$ を満たす $BC$ 上の点を $D$ 、 $CA,AB$ にも同様にして $E,F$ を定義する。 $AD, BE, CF$ はイフ合同心で交わる^[5]。これは下記の一般化に使用されている。
接触三角形の外接線三角形（extangents triangle）と基準三角形の相似中心である。
コンピュータの補助によってYff central triangleはいくつかの性質が判明している^[6]。

一般化

$△ ABC$ と任意の点 $P$ について、 $BC, CA, AB$ 上に以下を満たす点 $D, E, F$ をとる。 $\angle BPD=\angle DPC,\quad \angle CPE=\angle EPA,\quad \angle APF=\angle FPB.$ $AD, BE, CF$ は共点である^[5]。 $P$ を三線座標で $p : q : r$ とすると、その点の三線座標は、

${\frac {1}{\sqrt {(q^{2}+r^{2}+2qr\cos A)}}}:{\frac {1}{\sqrt {(r^{2}+p^{2}+2rp\cos B)}}}:{\frac {1}{\sqrt {(p^{2}+q^{2}+2pq\cos C)}}}$

である。 $P$ と $P$ を外接円で反転した点の、この一般化された点は一致する。

イフ合同心

Yff central triangle

イフ合同心

性質

一般化

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出典

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