ジェルゴンヌ点

三角形 ABC の内接円が辺 BC, AC, AB と接する点をそれぞれ X, Y, Z とする。AX, BY, CZ の3つの線の交点がジェルゴンヌ点となる。

円と接線の関係から AY = AZ などが成り立つため、チェバの定理の逆より3本の線が1点で交わることは自明である。

• 内心とド・ロンシャン点を通る直線上にある。この線をソディ線^[2]という。
• ナーゲル点と等長共役の関係にある。
• ジェルゴンヌ点と内接円と外接円の内側の相似中心X₅₅は等角共役の関係にある。
• ジェルゴンヌ点の重心座標は以下の式で表される。

  ${\displaystyle {\frac {1}{-a+b+c}}:{\frac {1}{a-b+c}}:{\frac {1}{a+b-c}}}$

• フォイエルバッハ双曲線上にある。

ジェルゴンヌ点のチェバ三角形 XYZ はジェルゴンヌ三角形、または接触三角形 (intouch triangle, contact triangle) と呼ばれる。また、ジェルゴンヌ三角形と元の三角形の配景の軸をジェルゴンヌ線という^[3]。ジェルゴンヌ線とソディ線は直交する。

YZ, ZX, XY に平行でジェルゴンヌ点を通る直線をそれぞれ l, m, n とする。l と AB、l と AC、m と BA、m と BC、n と CA、n と CB の交点は共円である。この円をアダムス円（フランス語版）という^[4][5]。カール・アダムスの名を冠する。アダムス円の中心は内心である。アダムス円の半径 R_A は以下の式で表される。

${\displaystyle R_{A}={\frac {r{\sqrt {p^{2}-abcs-ps^{2}}}}{p-s^{2}}}}$

ここで s は半周長、r は内接円の半径、p は ab + bc + ca である。この6点を辺上に持つもう1つの三角形の類似重心、第一ルモワーヌ円はそれぞれ元の三角形のジェルゴンヌ点、アダムス円となる。