ベクタン点

△ABC について、BC, CA, ABを一辺に持つ外側の正方形の中心をそれぞれO_a, O_b, O_cとする。AO_a, BO_b, CO_c は共点でその点を外ベクタン点^{[訳語疑問点]}（Outer Vecten point, First Vecten point^[6]）という。外ベクタン点の三線座標は以下の式で与えられる。

${\displaystyle \sec \left(A-{\frac {\pi }{4}}\right):\sec \left(B-{\frac {\pi }{4}}\right):\sec \left(C-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

クラーク・キンバーリング（英語版）の Encyclopedia of Triangle Centers ではX(485)として登録されている。単にベクタン点と言う場合は外ベクタン点を指す。

△O_aO_bO_cを外ベクタン三角形^{[訳語疑問点]}（Outer Vecten Triangle）という^[7]。外ベクタン三角形の重心は元の三角形の重心と一致する。また外ベクタン三角形の垂心は外ベクタン点となる。

△ABC について、BC, CA, ABを一辺に持つ内側の正方形の中心をそれぞれI_a, I_b, I_cとする。AI_a, BI_b, CI_c は共点でその点を内ベクタン点^{[訳語疑問点]}（Inner Vecten point,Second Vecten point^[6]）という。内ベクタン点の三線座標は以下の式で与えられる。

${\displaystyle \sec \left(A+{\frac {\pi }{4}}\right):\sec \left(B+{\frac {\pi }{4}}\right):\sec \left(C+{\frac {\pi }{4}}\right)}$

クラーク・キンバリングの Encyclopedia of Triangle Centers ではX(486)として登録されている^[8]。

△I_aI_bI_cを内ベクタン三角形^{[訳語疑問点]}（Inner Vecten Triangle）という^[9]。内ベクタン三角形の重心は元の三角形の重心と一致する。また内ベクタン三角形の垂心は内ベクタン点となる。

• X₄₈₅, X₄₈₆ 九点円の中心、類似重心は共線である。
• ベクタン点はキーペルト双曲線上にある。
• ベクタン点の等角共役点は剣持点である。
• BC, CA, ABを一辺に持つ外側の正方形をそれぞれBA_bA_cC, CB_cB_aA, AC_aC_bBとする。直線B_aC_a, C_bA_b, A_cB_c（flank lines）の直極点をそれぞれQ_A, Q_B, Q_Cとすると、AQ_A, BQ_B, CQ_CはX₄₈₅で交わる^[2]。それぞれ、BA_bA_cC, CB_cB_aA, AC_aC_bBを一辺に持つ△AB_aC_a, △BC_bA_b, △CA_cB_c（flank triangles）に対して外側の正方形の中心と、A,B,Cを結んだ直線もまたX₄₈₅で交わる^[4]。X₄₈₆に関しても同様である。
• A_bA_c, B_cB_a, C_aC_bの成す三角形（Grebe triangle^[10]）と元の三角形の配景の中心は類似重心である。エルンスト・ヴィルヘルム・グレーベ（ドイツ語版）が発見した。そのためドイツでは、類似重心はグレーベ点とも呼ばれる。