ケネディ・ソーンダイクの実験

ローレンツ収縮は、それ自体でマイケルソン・モーリーの実験の否定的結果を完全に説明できるが、それ自体でケネディ・ソーンダイクの実験の否定的結果を説明できない。ローレンツ収縮は次の式で与えられる。

${\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}=L_{0}/{\gamma (v)}}$

ここで

${\displaystyle L_{0}}$は固有長（静止座標系における物体の長さ）

${\displaystyle L}$は物体に対して相対運動している観測者により観測される長さ

${\displaystyle v\,}$は観測者と移動する物体の間、つまり仮想のエーテルと移動物体の間の相対速度である。

${\displaystyle c\,}$は光速

であり、ローレンツ因子は以下のように定義される。

${\displaystyle \gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\ }$.

図2は、垂直なアームを備えるケネディ・ソーンダイクの実験の装置を示しており、ローレンツ収縮が有効であることを仮定している^[3]。装置が仮想のエーテルに対して「静止している」場合、光が縦のアームと横のアームを往復するのにかかる時間の差は次の式で与えられる。

${\displaystyle T_{L}-T_{T}={\frac {2(L_{L}-L_{T})}{c}}}$

光がローレンツ収縮した縦のアームを往復するのにかかる時間は、次の式で与えられる。

${\displaystyle T_{L}=T_{1}+T_{2}={\frac {L_{L}/\gamma (v)}{c-v}}+{\frac {L_{L}/\gamma (v)}{c+v}}={\frac {2L_{L}/\gamma (v)}{c}}{\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {2L_{L}\gamma (v)}{c}}}$

T₁は運動方向の移動時間、T₂は反対方向の移動時間、vはエーテルの速度成分、cは光速、L_Lは縦方向のアームの長さである。光が横のアームを往復するのにかかる時間は、次の式で与えられる。

${\displaystyle T_{T}={\frac {2L_{T}}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {2L_{T}}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {2L_{T}\gamma (v)}{c}}}$

光が縦のアームと横のアームを通過するのにかかる時間の差は、次の式で与えられる。

${\displaystyle T_{L}-T_{T}={\frac {2(L_{L}-L_{T})\gamma (v)}{c}}}$

ΔL=c(T_L-T_T)であるため、次の移動距離の差が与えられる（ΔL_Aは初期の移動距離の差、v_Aは装置の初速度、ΔL_Bとv_Bは、地球自体の自転または太陽の周りの公転による回転または速度変化後の移動距離の差と初速度である）^[4]

${\displaystyle \Delta L_{A}={\frac {2\left(L_{L}-L_{T}\right)}{\sqrt {1-v_{A}^{2}/c^{2}}}},\qquad \Delta L_{B}={\frac {2\left(L_{L}-L_{T}\right)}{\sqrt {1-v_{B}^{2}/c^{2}}}}}$.

否定的結果を得るためには、ΔL_A−ΔL_B=0という結果を得る必要がある。ただし、速度が同じ (v_A=v_B) である限り、両方の式が互いに打ち消しあうだけである。しかし、速度が異なる場合、ΔL_AとΔL_Bは等しくなくなる（マイケルソン・モーリーの実験においては、L_LとL_Tの差がゼロであるため、速度の変化の影響を受けない。そのため、マイケルソン・モーリーの実験では、光速が装置の向きに依存するかどうかを検証するだけである）。しかし、ケネディ・ソーンダイクの実験では、最初からL_LとL_Tが異なるため、装置の「速度」に対する光速の依存性も測定できる^[2]。

前式によれば、移動距離の差ΔL_A−ΔL_Bとその結果として予想される干渉縞の移動 (fringe shift) ΔNは次の式で与えられる。

${\displaystyle \Delta N={\frac {\Delta L_{A}-\Delta L_{B}}{\lambda }}={\frac {2\left(L_{L}-L_{T}\right)}{\lambda }}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v_{A}^{2}/c^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-v_{B}^{2}/c^{2}}}}\right)}$.

v/cで2次より大きい項を無視すると、次の式になる。

${\displaystyle \approx {\frac {L_{L}-L_{T}}{\lambda }}\left({\frac {v_{A}^{2}-v_{B}^{2}}{c^{2}}}\right)}$

ΔNが定数になる、つまり干渉縞の移動が装置の速度や向きに依存しないためには、波長λがローレンツ因子により修正される必要がある。周波数に対する時間の遅れの影響を考慮した場合にはこのことが実際に生じる。そのため、ケネディ・ソーンダイクの実験の否定的結果を説明するためには、長さの収縮と時間の遅れの両方が必要である。

1905年、アンリ・ポアンカレとアルベルト・アインシュタインにより、ローレンツ変換が相対性原理を満たす群を形成する必要があることを示した。このことは、長さの収縮と時間の遅れが正確な相対論的値を有することを必要とする。ケネディとソーンダイクは、マイケルソン・モーリーの実験とケネディ・ソーンダイクの実験の実験データのみから、完全なローレンツ変換を導出できると主張した。しかし、正確な相対論的値を有する長さの収縮と時間の遅れは十分であるが、両方の実験の説明には必要ないため、厳密には正しくない。運動方向のみでの長さの収縮は、マイケルソン・モーリーの実験を説明する可能性の1つにすぎないためである。一般的に、否定的結果は、横方向と縦方向の長さの「比」がローレンツ因子に対応する必要があり、これには、横方向と縦方向の長さの変化の無限に多くの組み合わせが含まれる。このことは、その値が実験の解析で使用される長さの収縮の値に依存するため、ケネディ・ソーンダイクの実験における時間の遅れの役割にも影響する。したがって、実験データのみからローレンツ変換を導出するには、3番目の実験であるアイヴズ・スティルウェルの実験（英語版）を考慮する必要がある^[2]。

より正確には、Robertson-Mansouri-Sexl検証理論の枠組みにおいて^[2][5]、次のスキームを使用して実験を記述することができる。αは時間変化を表し、βは運動方向の長さ変化を表し、δは運動方向に垂直な方向の長さ変化を表す。マイケルソン・モーリーの実験はβとδの関係を検証し、ケネディ・ソーンダイクの実験はαとβとの関係を検証する。すなわち、αはβに依存し、βはδに依存する。これら2つの実験ではこれらの量の組み合わせのみが測定でき、個々の値は測定できない。これらの量のいずれかの値を「直接」測定するには、別の実験が必要である。これは実際に、相対論的時間の遅れにより予測される値を持つαを測定したアイヴズ・スティルウェルの実験で達成された。このαの値とケネディ・ソーンダイクの実験の否定的結果を組み合わせると、βは必然的に相対論的長さの収縮の値を仮定する必要があることがわかる。さらに、このβの値とマイケルソン・モーリーの実験の否定的結果を組み合わせると、δはゼロでなければならないことがわかる。したがって、ローレンツ変換に必要な要素は、群論の理論的要件と一致して、実験により提供される。

近年、レーザー、メーザー、低温光共振器を使用して、マイケルソン・モーリーの実験やケネディ・ソーンダイクの実験の精度を高めた実験が行われている。時間の遅れと長さの収縮の間の関係を示すRobertson-Mansouri-Sexl(RMS)検証理論による速度依存性の限界が大きく改善されている。例えば、元のケネディ・ソーンダイクの実験ではRMS速度依存性の限界が~10⁻²であったが、現在の限界は~10⁻⁸の範囲である^[5]。

図3は、Braxmaierらが2002年に行ったケネディ・ソーンダイクの実験の単純化した図を示す^[6]。左側において、光検出器 (PD) がサファイア低温光共振器 (CORE) 長さ基準の共振を監視し、COREはNd:YAGレーザの周波数を1064nmに安定させるために、液体ヘリウム温度に保たれた。右側においては、低圧ヨウ素基準の532 nm吸収度線が、2番目のNd:YAGレーザの（2倍の）周波数を安定させるための時間標準として使用されている。

著者	年	説明	最大速度依存性
Hils and Hall[7]	1990	光ファブリ・ペロー共振器の周波数と、I2基準線に安定化されたレーザーの周波数を比較する。	${\displaystyle \lesssim 10^{-5}}$
Braxmaier et al.[6]	2002	2つのNd:YAGレーザーを使用して、低温光共振器の周波数をI2周波数基準と比較する。
Wolf et al.[8]	2003	whispering gallery modeで動作するサファイア結晶により構成される定置低温マイクロ波発振器の周波数が水素メーザー（英語版）の周波数と比較され、その周波数はセシウムとルビジウムの原子泉時計と比較された。地球の自転中の変化が調べられた。2001年から2002年までのデータが分析された。	${\displaystyle \lesssim 10^{-7}}$
Wolf et al.[9]	2004	Wolf et al. (2003)参照。温度制御をアクティブに行った。2002年から2003年までのデータが分析された。
Tobar et al.[10]	2009	Wolf et al. (2003)参照。2002年から2008年までのデータが、恒星変動と年変動の両方を考慮して分析された	${\displaystyle \lesssim 10^{-8}}$

地上での測定に加え、Müller & Soffel (1995)^[11]やMüller et al. (1999)^[12]により、地球と月の距離をセンチメートルの精度で評価した月レーザー測距データを使用して、ケネディ・ソーンダイクの実験が行われた。好ましい座標系(en:preffered frame)があり、光速が観測者の速度に依存する場合、地球と月の間の距離測定で異常振動が観測できるはずである。時間の遅れはすでに高精度で確認されているため、このような振動が観測されれば光速が観測者の速度に依存していることや、長さの収縮の方向依存性が実証される。しかしながら、どちらの研究でもそのような振動は観測されず、RMS速度限界はHils and Hall (1990)により設定された限界に匹敵する~10^−5[12]であった。したがって、長さの収縮と時間の遅れは両方とも相対性理論により予測された値を有する必要がある。

1. 1 2 Kennedy, R. J.; Thorndike, E. M. (1932). “Experimental Establishment of the Relativity of Time”. Physical Review 42 (3): 400–418. Bibcode: 1932PhRv...42..400K. doi:10.1103/PhysRev.42.400. 
2. 1 2 3 4 Robertson, H. P. (1949). “Postulate versus Observation in the Special Theory of Relativity”. Reviews of Modern Physics 21 (3): 378–382. Bibcode: 1949RvMP...21..378R. doi:10.1103/RevModPhys.21.378. https://cds.cern.ch/record/1061896/files/RevModPhys.21.378.pdf. 
3. ↑ Note: In contrast to the following demonstration, which is applicable only to light traveling along perpendicular paths, Kennedy and Thorndike (1932) provided a general argument applicable to light rays following completely arbitrary paths.
4. ↑ Albert Shadowitz (1988). Special relativity (Reprint of 1968 ed.). Courier Dover Publications. pp. 161. ISBN 0-486-65743-4. https://archive.org/details/specialrelativit0000shad 
5. 1 2 Mansouri R.; Sexl R.U. (1977). “A test theory of special relativity: III. Second-order tests”. Gen. Rel. Gravit. 8 (10): 809–814. Bibcode: 1977GReGr...8..809M. doi:10.1007/BF00759585. 
6. 1 2 Braxmaier, C.; Müller, H.; Pradl, O.; Mlynek, J.; Peters, A.; Schiller, S. (2002). “Tests of Relativity Using a Cryogenic Optical Resonator”. Phys. Rev. Lett. 88 (1): 010401. Bibcode: 2001PhRvL..88a0401B. doi:10.1103/PhysRevLett.88.010401. PMID 11800924. オリジナルの2021-03-23時点におけるアーカイブ。. https://web.archive.org/web/20210323200106/http://www.exphy.uni-duesseldorf.de/Publikationen/2002/Braxmaier-2002-PRL10401.pdf 2012年7月21日閲覧。. 
7. ↑ Hils, Dieter; Hall, J. L. (1990). “Improved Kennedy–Thorndike experiment to test special relativity”. Phys. Rev. Lett. 64 (15): 1697–1700. Bibcode: 1990PhRvL..64.1697H. doi:10.1103/PhysRevLett.64.1697. PMID 10041466. 
8. ↑ Wolf (2003). “Tests of Lorentz Invariance using a Microwave Resonator”. Physical Review Letters 90 (6): 060402. arXiv:gr-qc/0210049. Bibcode: 2003PhRvL..90f0402W. doi:10.1103/PhysRevLett.90.060402. PMID 12633279. 
9. ↑ Wolf, P.; Tobar, M. E.; Bize, S.; Clairon, A.; Luiten, A. N.; Santarelli, G. (2004). “Whispering Gallery Resonators and Tests of Lorentz Invariance”. General Relativity and Gravitation 36 (10): 2351–2372. arXiv:gr-qc/0401017. Bibcode: 2004GReGr..36.2351W. doi:10.1023/B:GERG.0000046188.87741.51. 
10. ↑ Tobar, M. E.; Wolf, P.; Bize, S.; Santarelli, G.; Flambaum, V. (2010). “Testing local Lorentz and position invariance and variation of fundamental constants by searching the derivative of the comparison frequency between a cryogenic sapphire oscillator and hydrogen maser”. Physical Review D 81 (2): 022003. arXiv:0912.2803. Bibcode: 2010PhRvD..81b2003T. doi:10.1103/PhysRevD.81.022003. 
11. ↑ Müller, J.; Soffel, M. H. (1995). “A Kennedy–Thorndike experiment using LLR data”. Physics Letters A 198 (2): 71–73. Bibcode: 1995PhLA..198...71M. doi:10.1016/0375-9601(94)01001-B. 
12. 1 2 Müller, J., Nordtvedt, K., Schneider, M., Vokrouhlicky, D. (1999). “Improved Determination of Relativistic Quantities from LLR”. Proceedings of the 11th International Workshop on Laser Ranging Instrumentation 10: 216–222. http://cddis.gsfc.nasa.gov/lw11/docs/lrw_llrpan.pdf. 

• 霜田光一『歴史をかえた物理実験』丸善出版、2017年、134-142頁。