シュタイナーの内接楕円

シュタイナーの内接楕円の座標は三線座標によって以下のように表される^[1]。

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0}$

重心座標では以下のようになる。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2yz-2zx=0}$

• シュタイナーの内接楕円の中心は、元の三角形の重心である^[1][5]。重心を中心とする唯一の内接楕円である^[5]:p.142。
• シュタイナーの内接楕円の面積は、内接楕円の中で最も大きい。その面積は元の三角形の面積の ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$倍である^{[5]:p.146 [6]:Corollary 4.2}。
• シュタイナー楕円とは重心を共有するとともに相似の関係にあり、相似比は 1:2 であるとともに、両楕円の長軸および短軸はそれぞれ同一直線上に在る。したがって両楕円の焦点もまた同一直線上に在り、離心率は等しく、面積比は 1:4 である。
• 三角形に内接する二次曲線のうち、2辺以上の中点に接するのはシュタイナーの内接楕円のみである^[5]。
• シュタイナーの内接楕円は中点三角形のシュタイナー楕円である。
• シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さは以下の式で表される^[1]。

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

焦点間の長さは以下になる。

${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {Z}}}$

ただし Z は以下の式で与えられる。

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

• 複素数平面において、三角形の3つの頂点の座標を零点にもつような3次式を考えたとき、シュタイナーの内接楕円の焦点の座標はその3次式の導関数の零点となる（マーデンの定理（英語版）、冒頭の図も参照。）^[3]。
• 長軸は、3頂点からの距離が最も短くなる直線上にある^{[6]:Corollary 2.4} 。
• G, F₊, F₋ を三角形の重心と2つのフェルマー点とする。シュタイナーの内接楕円の長軸は∠F₊GF₋の2等分線上にある。また、2つの軸の長さは |GF₋| ± |GF₊| という式で表される^{[7]:Thm. 1}。
• シュタイナー内接楕円の2つの軸はキーペルト放物線に接する。
• シュタイナー内接楕円の2つの焦点は17点3次曲線上にある^[8]。
• クラーク・キンバリングの「BICENTRIC PAIRS OF POINTS」ではP(118),U(118)として登録されており、重心座標は以下の式で表される^[9]。すなわち、

${\displaystyle V=2a^{2}b^{2}c^{2}Z^{3},W=b^{6}c^{6}+c^{6}a^{6}+a^{6}b^{6}-3a^{4}b^{4}c^{4}-(b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}+a^{4}b^{4})Z^{2},}$

${\displaystyle f(a,b,c)=(b^{2}-c^{2})(a^{4}-b^{4}c^{4}-a^{2}Z)+{\sqrt {V-W}}}$

として

${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\;,\;f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)}$

• 三角形ABCに内接する楕円の焦点を P, Q とすると以下の式が成り立つ^[10]。

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

• △ABCと重心に対する九点円錐曲線である。