シュタイナー楕円

長軸と短軸の長さは以下の式で表される^[1]。

${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

焦点間の長さは以下になる。

${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {Z}}}$

ただし、Ｚ は以下の式で表される値である。

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

2つの焦点は Bickart points と呼ばれ、クラーク・キンバリングのBICENTRIC PAIRS OF POINTSではP(116),U(116)として登録されている^[2]。その重心座標は以下の式で表される。すなわち、

${\displaystyle V=2a^{2}b^{2}c^{2}Z^{3},W=b^{6}c^{6}+c^{6}a^{6}+a^{6}b^{6}-3a^{4}b^{4}c^{4}-(b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}+a^{4}b^{4})Z^{2},}$

${\displaystyle f(a,b,c)=2(b^{2}-c^{2})(a^{4}-b^{2}c^{2}-a^{2}Z)+{\sqrt {V-W}}}$

として、

${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\;,\;f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)}$

• 外接円とは4点で交わる。このうち3点は頂点である。残りの1点はシュタイナー点である。
• 外接円錐曲線の一つである。
• シュタイナー内接楕円とは重心を共有するとともに相似の関係にあり、相似比は 2:1 であるとともに、両楕円の長軸および短軸はそれぞれ同一直線上に在る。したがって両楕円の焦点もまた同一直線上に在り、離心率は等しく、面積比は 4:1 である。