セグレの多重複素数

Summarize Fact Check

多重複素数環 ℂ_n は、初期値 ℂ₀ ≔ ℝ から再帰的に構成することができる。

n ≥ 1 のとき、ℂ_n−1 がすでに得られているものとして、新たな虚数単位i_n ∉ ℂ_n−1 を i2
n = −1 および他の虚数単位 i₁, …, i_n−1 と可換なるものとして導入し、$${\displaystyle \mathbb {C} _{n}:=\{x+yi_{n}\mid (x,y)\in \mathbb {C} _{n-1}^{2}\}}$$ と置く。

n ≥ 1 に対し、 1 および i_n は ℂ_n−1 の任意の数と可換、また span(1, i_n) ∉ ℂ_n−1（特に i_n ∉ ℂ_n−1）とする。

関係式 ℂ_n = {x + yi_n  |  (x, y) ∈ ℂ_n−1²} は代数のテンソル積を用いて ℂ_n = ℂ_n−1 ⊗_ℝ span(1, i_n) と書き直せる。さらに言えば、条件 i2
n = −1 から span(1, i_n) ≅ ℂ であり、ℂ_n ≔ ℂ_n−1 ⊗_ℝ ℂ と書いてもよい。ℝ はテンソル積 ⊗_ℝ の単位元であって、空積を対応付けることができる。まとめると $${\displaystyle \mathbb {C} _{n}=\underbrace {\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\cdots \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } _{n{\text{ factors}}}={\bigotimes ^{n}}_{\mathbb {R} }\mathbb {C} \qquad (\forall n\in \mathbb {N} ).}$$