ダランベールの原理

ダランベールの原理の導入

${\displaystyle N}$ 個の質点の運動はニュートンの運動方程式

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{k}^{\mathrm {total} }=m_{k}{\ddot {\boldsymbol {r}}}_{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,N)}$

で決定される。ここで ${\displaystyle k}$ 番目の質点の位置を ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{k}}$ 、質量を ${\displaystyle m_{k}}$ 、働く合力を ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{k}^{\mathrm {total} }}$ とした。合力が既知であるとき、つまり合力が ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{k}^{\mathrm {total} }({\boldsymbol {r}},{\dot {\boldsymbol {r}}},t)}$ のように位置や速度の関数で書けるとき、運動方程式は微分方程式と解釈できる。適切な初期条件を与えれば系の時間発展が決定される^{[注 1]}。

現実の問題を考える場合、重力などの関数形が既知である力以外に、物体同士の接触によって及ばされる力などがありこれらは一般に既知の力でない。原理的には分子同士の相互作用と考えられるが、それらの厳密な関数形を知るのは困難であり、物体を構成する分子の数も膨大であるため、具体的な関数形を与えるのは事実上不可能である。ばねにおけるフックの法則は関数形が近似的に知られている限られたケースである^[1]。

このような既知でない力が働く系は、代わりに質点の運動の拘束条件が分かっていることが多い。つまり、質点が ${\displaystyle A}$ 個の拘束条件

${\displaystyle f_{\alpha }({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {r}}_{N},{\dot {\boldsymbol {r}}}_{1},{\dot {\boldsymbol {r}}}_{2},\ldots ,{\dot {\boldsymbol {r}}}_{N},t)=0\qquad (\alpha =1,2,\ldots ,A)}$

を満たしながら運動する状況を考える。そして各質点の合力 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{k}^{\mathrm {total} }}$ を既知の力 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{k}}$ と未知の力 ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}_{k}}$ の和に分ける。

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{k}^{\mathrm {total} }={\boldsymbol {F}}_{k}+{\boldsymbol {N}}_{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,N)}$

未知の力 ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}_{k}}$ は質点が拘束条件を満たすように働く力であり拘束力（または束縛力）と呼ばれる。拘束力が働く系を拘束系と呼ぶ。拘束系の運動方程式は次の連立微分方程式として捉えられる。

${\displaystyle {\begin{cases}{\boldsymbol {F}}_{k}+{\boldsymbol {N}}_{k}=m_{k}{\ddot {\boldsymbol {r}}}_{k}&(k=1,2,\ldots ,N)\\[1ex]f_{\alpha }({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {r}}_{N},{\dot {\boldsymbol {r}}}_{1},{\dot {\boldsymbol {r}}}_{2},\ldots ,{\dot {\boldsymbol {r}}}_{N},t)=0&(\alpha =1,2,\ldots ,A)\end{cases}}}$

この微分方程式を解くことで位置の関数 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{k}(t)}$ と拘束力の関数 ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}_{k}(t)}$ が得られる。しかし、未知関数が ${\displaystyle 6N}$ 個あるのに対して方程式は ${\displaystyle (3N+A)}$ 個しかないためこの段階では一般に解けない。

拘束力は一般に系全体に対して仕事をしないと考えられる^{[注 2]}。例えば、垂直抗力や剛体の拘束による力、伸縮しない糸による張力などは拘束力であり系に対して仕事しない。また、摩擦力が仕事をする場合は摩擦力を既知の力だと考えればよい^{[注 3][1]}。拘束力のこの性質は仮想変位 ${\displaystyle \delta {\boldsymbol {r}}_{k}}$ を用いて

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\boldsymbol {N}}_{k}\cdot \delta {\boldsymbol {r}}_{k}=0}$

と書ける^{[注 4]}。仮想変位 ${\displaystyle \delta {\boldsymbol {r}}_{k}}$ とは時刻を止めて考える拘束条件を破らない無限小の変位である。仮想変位に対して力がする仕事を仮想仕事と呼ぶ。拘束力の仮想仕事の和はゼロである。

拘束力のこの性質を用いて運動方程式から拘束力を消去できる。実際、運動方程式

${\displaystyle m_{k}{\ddot {\boldsymbol {r}}}_{k}-{\boldsymbol {F}}_{k}-{\boldsymbol {N}}_{k}=0\qquad (k=1,2,\ldots ,N)}$

に仮想変位を掛けて和を取り拘束力の性質を用いることで

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(m_{k}{\ddot {\boldsymbol {r}}}_{k}-{\boldsymbol {F}}_{k})\cdot \delta {\boldsymbol {r}}_{k}=0}$

を得る。これがダランベールの原理である。ダランベールの原理の本質は運動方程式から拘束力を消去することにある^[1]。

一般化座標への書き換え

ダランベールの原理で拘束力の消去をすることができたが、位置 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{k}}$ は拘束条件を満たすようにしか動けないので問題はまだ複雑である。この問題を解決するために一般化座標が導入される。拘束条件が位置のみで書かれる場合を考える。

${\displaystyle f_{\alpha }({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {r}}_{N},t)=0\qquad (\alpha =1,2,\ldots ,A)}$

このような拘束をホロノミック拘束という。このとき、 ${\displaystyle n=(3N-A)}$ 個の独立なパラメータ ${\displaystyle (q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})}$ で位置をパラメータ付けできる。

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{k}={\boldsymbol {r}}_{k}(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n},t)\qquad (k=1,2,\ldots ,N)}$

このようなパラメータ ${\displaystyle q}$ を一般化座標という。

ダランベールの原理を一般化座標で書き換えると

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}-{\mathcal {F}}_{i}\right]\delta q_{i}=0}$

となる。 ${\displaystyle T}$ は一般化座標とその時間微分の関数

${\displaystyle T(q,{\dot {q}},t)=\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}\left({\frac {d{\boldsymbol {r}}_{k}(q,t)}{dt}}\right)^{2}}$

であり系の全運動エネルギーを表す。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ は一般化力と呼ばれ一般化座標とその時間微分の関数

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}(q,{\dot {q}},t)=\sum _{k=1}^{N}{\boldsymbol {F}}_{k}(q,{\dot {q}},t)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {r}}_{k}(q,t)}{\partial q_{i}}}}$

である。一般化座標の仮想変位 ${\displaystyle \delta q}$ は一般化座標を独立に取ったので独立に動かせる。よって一般化座標で書き換えたダランベールの原理よりラグランジュ方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}={\mathcal {F}}_{i}\qquad (i=1,2,\ldots ,n)}$

ラグランジュ方程式は力 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{k}}$ がポテンシャル ${\displaystyle V(q)}$ で書けるとき、ラグランジアン ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)=T-V}$ を導入することでオイラー・ラグランジュ方程式に書き換えられる。$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\qquad (i=1,2,\ldots ,n)}$$このようにダランベールの原理と一般化座標の導入により、ホロノミック系の運動方程式は ${\displaystyle n}$ 個の独立な変数の方程式に帰着できる。