円運動

定義より、円運動の軌道は正円である^[1]。

円の中心を原点 ${\displaystyle O}$ に置き ${\displaystyle xy}$ 平面上に軌道を取れば、半径 ${\displaystyle r\in \mathbb {R^{+}} }$ が唯一のパラメータとなる。直交座標を用いて軌道の方程式は、

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

で表現される^[1][2]。

${\displaystyle O}$ を起点とする ${\displaystyle xy}$ 平面上のベクトル ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}\in \mathbb {R} ^{2}}$ で軌道上の点の位置を表すと、媒介変数 ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ を用いて、

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=r{\binom {\cos \theta }{\sin \theta }}}$ … (1-i)

と表現できる^[1]。このとき ${\displaystyle \theta }$ は ${\displaystyle x}$ 軸と ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ のなす角度（単位: ラジアン）と解釈できる。

時刻 ${\displaystyle t}$ での位置を ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)\in \mathbb {R} ^{2}}$、角度を ${\displaystyle \theta (t)\in \mathbb {R} }$ とすると、(1-i) より ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ は ${\displaystyle \theta (t)}$ で一意に定まることがわかる。

角度 ${\displaystyle \theta (t)}$ の時間変化が滑らかで物体が軌道上を滑らかに動くとする。このとき物体の速度 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)\in \mathbb {R} ^{2}}$ は微分と ${\displaystyle \textstyle {\dot {\theta }}={\frac {d\theta }{dt}}}$ を用いて、

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=r{\frac {d\theta }{dt}}{\binom {-\sin {\theta (t)}}{\cos {\theta (t)}}}={\dot {\theta }}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\boldsymbol {r}}(t)}$ … (1-ii)

と表現できる。このとき ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ を角速度という^[3]。

一般に速度の方向が軌道の接線方向であり、円運動の軌道の単位接線ベクトル ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {T}}(t)}$ は ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ の時間微分と標準化で ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {T}}(t)={\binom {-\sin {\theta (t)}}{\cos {\theta (t)}}}}$ と求まる。これを用いて、速度 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)}$ および速度の接線成分 ${\displaystyle \nu (t)}$ は次のように表現できる：

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)=r{\dot {\theta }}{\boldsymbol {T}}(t),\quad \nu (t)=r{\dot {\theta }}}$

一般に ${\displaystyle \left|\nu (t)\right|}$ は運動の速さであるため、円運動の速さは ${\displaystyle v(t)=\left|\nu (t)\right|=r\left|{\dot {\theta }}\right|}$ である。

物体の加速度 ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}(t)\in \mathbb {R} ^{2}}$ は微分と ${\displaystyle \textstyle {\ddot {\theta }}={\frac {d{\dot {\theta }}}{dt}}}$ を用いて、

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}(t)={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\frac {d{\dot {\theta }}}{dt}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\boldsymbol {r}}(t)+{\dot {\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}{\binom {-r\cos {\theta (t)}}{-r\sin {\theta (t)}}}={\ddot {\theta }}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\boldsymbol {r}}(t)-{\dot {\theta }}^{2}{\boldsymbol {r}}(t)}$ … (1-iii)

と表現できる。このとき ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$ を角加速度という^[要出典]。

速度と似た形で単位向心ベクトル ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {N}}(t)={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\boldsymbol {T}}(t)={\binom {-\cos {\theta (t)}}{-\sin {\theta (t)}}}}$ を導入し、加速度を直交する接線方向と向心方向に分解すると、

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}(t)=r{\ddot {\theta }}{\boldsymbol {T}}(t)+r{\dot {\theta }}^{2}{\boldsymbol {N}}(t)}$

となる。つまり、向心成分は大きさ ${\displaystyle \textstyle a_{n}(t)=r{\dot {\theta }}^{2}={\frac {\nu ^{2}}{r}}={\frac {v^{2}}{r}}}$ で ${\displaystyle O}$ 向きに働く^[4]。${\displaystyle \textstyle {\dot {\theta }}={\frac {\nu }{r}}}$ より ${\displaystyle \textstyle r{\ddot {\theta }}=r{\frac {d{\dot {\theta }}}{dt}}={\frac {d\nu }{dt}}={\dot {\nu }}}$ であるため、接線成分は大きさ ${\displaystyle \textstyle a_{t}(t)=r\left|{\ddot {\theta }}\right|=\left|{\dot {\nu }}\right|}$ で働く^[5]。

円運動する質量 ${\displaystyle m}$ の物体におよぼされる力（合力）${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)}$ は、加速度と運動の第2法則（ニュートンの運動方程式）より、

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=mr{\ddot {\theta }}{\boldsymbol {T}}(t)+mr{\dot {\theta }}^{2}{\boldsymbol {N}}(t)}$

と表現できる。${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(t)}$ と ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}(t)}$ は単位接線・法線（向心）ベクトルであるから、${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)}$ の接線成分 ${\displaystyle F_{t}(t)}$ と法線成分 ${\displaystyle F_{n}(t)}$ は、

${\displaystyle {\begin{cases}F_{t}(t)&=&mr{\ddot {\theta }}&=&m{\dot {\nu }}\\F_{n}(t)&=&mr{\dot {\theta }}^{2}&=&{\frac {m\nu ^{2}}{r}}\\\end{cases}}}$

と表現できる。つまり円の半径と現在の速さに見合った ${\displaystyle F_{n}(t)}$ が求められ、${\displaystyle F_{t}(t)}$ は加減速を生む。別の見方をすれば ${\displaystyle F_{n}(t)}$ が方向を適切に変えて円軌道を描き、${\displaystyle F_{t}(t)}$ がその上での速さを変える。ある瞬間の ${\displaystyle F_{t}(t)}$ は方向を変えず速さのみを変えるが、変化した速さが次の瞬間に要求される ${\displaystyle F_{n}(t)}$ を増減させるため、${\displaystyle F_{t}(t)}$ は時間を跨いで方向へ影響する。

等速円運動（とうそくえんうんどう、（英: uniform circular motion）は角速度が時間に依らず一定な円運動である^[8]。

等速円運動は角速度が一定すなわち ${\displaystyle {\dot {\theta }}(t)=\omega }$ な円運動である^[8]。角度 ${\displaystyle \theta (t)}$ を角速度の時間積分で求めると、

${\displaystyle \theta (t)=\int {\dot {\theta }}(t)dt=\int \omega dt=\omega t+\theta _{0}}$

となる^[9]。このとき ${\displaystyle \theta _{0}}$ を初期位相といい、これは ${\displaystyle \theta (0)=\theta _{0}}$ と整合的である^[9]。また角速度が時間に依らないので ${\displaystyle {\ddot {\theta }}=0}$ は自明である。

これらと (1-i, ii, iii) を用いると、位置・速度・加速度とそれらの大きさ・成分は、

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=r{\binom {\cos(\omega t+\theta _{0})}{\sin(\omega t+\theta _{0})}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)=\omega {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\boldsymbol {r}}(t)=r\omega {\binom {-\sin(\omega t+\theta _{0})}{\cos(\omega t+\theta _{0})}},\quad v(t)=r\left|\omega \right|}$

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}(t)=-\omega ^{2}{\boldsymbol {r}}(t)=-r\omega ^{2}{\binom {\cos(\omega t+\theta _{0})}{\sin(\omega t+\theta _{0})}},\quad a_{n}(t)=r\omega ^{2},\quad a_{t}(t)=0}$

と表現できる^[10][11]。すなわち、等速円運動は周期 ${\displaystyle \textstyle 2\pi /\left|\omega \right|}$ の周期的な運動であり^[12]、速さが ${\displaystyle r\left|\omega \right|}$ で、常に向心方向へ大きさ ${\displaystyle r\omega ^{2}}$ の加速度（向心加速度）が生じている^[10][13][11]。

角速度 ${\displaystyle \textstyle \omega \ [{\text{rad/s}}]}$ の等速円運動では角度が ${\displaystyle \textstyle 1\ [{\text{s}}]}$ 間に ${\displaystyle \textstyle \left|\omega \right|\ [{\text{rad}}]}$ 変化する。よって半径 ${\displaystyle \textstyle r\ [{\text{m}}]}$ と円弧の長さの公式より、この間に軌道上を物体が進む距離は ${\displaystyle r\left|\omega \right|\ [{\text{m}}]}$ である。 運動の速さが一定であることは自明であるため^[8]、等速円運動中の物体の速さは ${\displaystyle r\left|\omega \right|\ [{\text{m/s}}]}$ であるとわかる。これは微積分で求めた速さと整合する。