最小公倍数

2つ以上の整数 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$の最小公倍数とは、${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$の公倍数のうち最小の正整数である。

つまり、${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$を、素数 (prime) p を用いて

と素因数分解したとき、${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$の最小公倍数は

で与えられる。

例えば、12 と 16 の最小公倍数は 48 である。

12 = 2²×3¹

16 = 2⁴

48 = 2⁴×3¹

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公倍数は最小公倍数の倍数である。

証明

${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}$ の最小公倍数を ${\displaystyle l}$ とする． ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}$ の一般の公倍数を ${\displaystyle m}$ とし，${\displaystyle m=ql+r,\quad (0<r<l)}$ と置く。 変形して ${\displaystyle r=m-ql}$ …① ①右辺は ${\displaystyle m}$ は ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}$ の公倍数、${\displaystyle l}$ も同じく ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}$ の公倍数。 よって①の左辺 ${\displaystyle r}$ は ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}$ の公倍数になる。 しかし${\displaystyle 0<r<l}$ となり、最小公倍数 ${\displaystyle l}$ よりも一般公倍数 ${\displaystyle r}$ が小さく矛盾． すなわち ${\displaystyle r=0}$。よって公倍数 ${\displaystyle m=ql}$ であり最小公倍数の倍数となっている．(証明終）

正整数${\displaystyle a,\ b}$に対して、${\displaystyle a}$と${\displaystyle b}$の最大公約数${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b)}$と最小公倍数${\displaystyle \mathrm {lcm} (a,\ b)}$との間には

という関係がある。

例えば${\displaystyle a}$が${\displaystyle 12}$、${\displaystyle b}$が${\displaystyle 16}$の場合、${\displaystyle 12}$×${\displaystyle 16}$＝${\displaystyle 192}$となり、${\displaystyle 192}$で最大公約数の${\displaystyle 4}$を割れば最小公倍数の${\displaystyle 48}$となる。

しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、${\displaystyle a=2,\ b=6,\ c=15}$とすると、${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b,\ c)=1,\ \mathrm {lcm} (a,\ b,\ c)=30}$であるが、${\displaystyle abc=180}$である。