ディリクレベータ関数

リーマンゼータ関数の乗積表示であるオイラー積が示唆するように、リーマンゼータ関数の重要な性質のひとつは素数との関わりが深いことである。同じように、ディリクレベータ関数にも、素数全体を動く変数 p を用いた

${\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1{\bmod {4}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3{\bmod {4}}}{\frac {1}{1+p^{-s}}}}$

という乗積表示が存在する。

ディリクレベータ関数は、任意の複素数 s に対して次のような関数方程式が存在する。

${\displaystyle \beta (1-s)={\biggl (}{\frac {2}{\pi }}{\biggr )}^{\!s}\sin {\frac {\pi s}{2}}\,\varGamma (s)\,\beta (s)}$

ただし、ここで Γ はガンマ関数である。これによって、ディリクレベータ関数は複素数全体に解析接続されたこととなり、すべての複素数においての議論ができる。

ディリクレベータ関数に整数を代入したものをディリクレベータ関数の特殊値という。級数による定義において、たとえば s = 1 を代入すると、

${\displaystyle \beta (1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

のように値が求まり、これはよく知られたライプニッツの公式と一致する。さらに、この他にも値を代入すれば、

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \beta (1)={\frac {\pi }{4}}=0.78539\,81633\,97448\ldots }$

${\displaystyle \beta (2)=G=0.91596\,55941\,77219\ldots }$

${\displaystyle \beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}=0.96894\,61462\,59369\ldots }$

${\displaystyle \beta (4)={\frac {1}{768}}{\biggl [}\psi ^{(3)}\!{\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}-8\pi ^{4}{\biggr ]}=0.98894\,45517\,41105\ldots }$

${\displaystyle \beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}=0.99615\,78280\,77088\ldots }$

${\displaystyle \beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}=0.99955\,45078\,90539\ldots }$

のように求まる。ただし、ここで G はカタランの定数、ψ⁽ⁿ⁾ はポリガンマ関数である。リーマンゼータ関数において、偶数に対する特殊値はレオンハルト・オイラーがバーゼル問題を解決するとともに一般化したが、奇数に対する値はよく知られていない。一方、ディリクレベータ関数は、奇数 2n + 1 に対して、

${\displaystyle \beta (2n+1)={\frac {(-1)^{n}\,E_{2n}\,\pi ^{2n+1}}{4^{n+1}\,(2n)!}}}$

が成り立つこと分かっている。ただし、ここで E_n は n 番目のオイラー数である。

1. ↑ ${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\varGamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{-x}-1}}\,{\rm {d}}x}$

• Blagouchine, I. V. (2014). “Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results”. Ramanujan J. 35 (1): 21–110. doi:10.1007/s11139-013-9528-5. https://www.researchgate.net/publication/257381156_Rediscovery_of_Malmsten's_integrals_their_evaluation_by_contour_integration_methods_and_some_related_results. 
• Glasser, M. L. (1972). “The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures”. J. Math. Phys. 14 (3): 409. Bibcode: 1973JMP....14..409G. doi:10.1063/1.1666331. 
• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Beta Function". mathworld.wolfram.com (英語).