トーマス・カークマン

カークマンの最初の出版物は、1846年の Cambridge and Dublin Mathematical Journal に発表された、シュタイナー三重系（英語版）に関連した問題に関するものであった。シュタイナー三重系は雑誌 The Lady's and Gentleman's Diary（英語版） で2年前にウェスリー・ウールハウス（英語版）が発表したものである^[1][2][3]。カークマンとウールハウスの功績があったのにもかかわらず、シュタイナー三重系は1853年にこの系を研究したヤコブ・シュタイナーの名を冠している^[1]。カークマンの2つ目の研究論文は、pluquaternions に関する研究であった。

1848年、カークマンは学生のための数学の記憶術の本 First Mnemonical Lessons を出版したが、これは成功しなかった。オーガスタス・ド・モルガンはこの書籍を "the most curious crochet I ever saw" と評価している^[1][2][3]。

1849年、カークマンはパスカル線に関する研究を行った。6点に対して、六角形の定め方は60通り存在し、それぞれにパスカル線が存在する。パスカル線に関するシュタイナーの研究を拡張して、カークマンは60本のパスカル線が60個の点を成すことを発見した。これは現在カークマン点 (Kirkman points) と呼ばれる。各パスカル線は3つのカークマン点を含み、各カークマン点は3本のパスカル線に含まれる。これら点と直線は60₃60₃の射影配置（英語版）を成している^[1]。

1850年、カークマンは、ウールハウスの問題に対して与えた解法が更なる性質を持っていることに気づき、雑誌 The Lady's and Gentleman's Diary 内でパズルとして公表した。

Fifteen young ladies in a school walk out three abreast for seven days in succession: it is required to arrange them daily, so that no two shall walk twice abreast.

これは現在カークマンの女学生問題（英語版）として知られ、カークマンの最も有名な結果になった。また、カークマンは組合せデザイン論の作品を後年にいくつか発表している^[1][2][3]。

1848年、カークマンは On Pluquaternions and Homoid Products of n Squares ^[6]を著作した。四元数と八元数の一般化に関する研究を行い、この数の体系をカークマンは pluquaternion Q_a と呼んだ。Pluquaternion はa (> 3)個の虚数単位によってあらわされる数である。カークマンは、単位の三重積における2つの等式がa = 3の場合には系の決定に十分だが、a = 4の場合十分でないというアーサー・ケイリーの主張を確認することに専念した^[7]。1900年までには、これらの数は多元数と呼ばれ、後に結合多元環理論の一部として扱われることになった。

1853年から、カークマンは多面体に関する数え上げ数学の問題を研究した。最初はオイラーの多面体定理の証明と単純な多面体（各頂点に3つの辺が存在する多面体）の研究に専念した。その後、多面体のハミルトンサイクルを研究し、ウィリアム・ローワン・ハミルトンの二十面体ゲーム（英語版）の前に、ハルミトンサイクルを持たない多面体の例を作った。また、1世紀後のハリンの研究以前に、立方体ハリングラフ（英語版）を数え上げ（英語版）た^[8]。カークマンは、面と頂点を削る操作によって、すべての多面体をピラミッドから作成できることを証明し、双対多面体を研究した^[1][3]。

1858年からフランス科学アカデミーから提供されていた（受賞はされなかった）賞に奮起して、カークマンは群論の研究を始めた。この分野における功績には、10以下の要素の集合の推移的群作用の数え上げがある。しかし、多面体の研究と同様に、カークマンの群論の研究は、新用語の発明の重圧などを理由に、後世に大きな影響を与える事はなかった^[1][3]。

1860年代初頭、カークマンは、論文の評価の低さと優先権を巡って、アーサー・ケイリーやジェームス・ジョセフ・シルベスターなどの数学の権威と対立した。後年の数学の論文は（たいていは狂詩（英語版）で）Educational Times の問題欄や、Proceedings of the Literary and Philosophical Society of Liverpool の人目につかない欄で公開された^[1]。しかし1884年に結び目理論を本格的に研究し、ピーター・テイトとともに10つの交差を持つ結び目の数え上げの論文を発表した^[3]。引退した後もカークマンは数学を活発に学び、没するまで研究を続けた^[3]。

1857年、 pluquaternions と分割に関する研究の功績で、カークマンは王立協会フェローに選出された^[1]。また、マンチェスター哲学協会や、リヴァプール文学哲学協会の名誉会員、オランダ王立科学協会（英語版）の外国人会員などにも選ばれている^[2]。

1994年より、Institute of Combinatorics and its Applications（英語版）は、カークマンメダル (Kirkman medal) の受賞を毎年行っている。授与対象は、博士取得後4年以内に組み合わせの分野で際立った研究をした者である。