パフィアン

パフィアンという語は、その性質を研究したイギリスの数学者アーサー・ケイリーによって名づけられ^[2]、最初にパフィアンを導入したドイツの数学者ヨハン・フリードリヒ・パフ（英語版）に因む^[3]。

一般的には行列式の平方根は根号を使って書き表す必要があるが、偶数次の交代行列の場合は行列の要素の多項式で平方根を書き表すことができることが知られており、これがパフィアンに相当する。

表現論や組合せ論において応用されるほか、数理物理においては、可積分系の方程式のソリトン解の表示や可解格子の一種であるダイマー模型の分配関数の計算等に応用される^[4]。

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2n 次の交代行列 A = (a_ij)_1≤i,j≤2n (a_ij = −a_ji) に対し、

${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\textstyle \sum \limits _{\sigma \in F_{2n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}}$

で定義される n 次の斉次多項式 Pf(A) を n 次のパフィアンと呼ぶ。ただし、F_2n は 2n 次の対称群 S_2n の部分集合で、

${\displaystyle F_{2n}=\{\sigma \in S_{2n}|\,\sigma (2i-1)<\sigma (2i)\quad (1\leq i\leq n),\,\sigma (1)<\sigma (3)\cdots <\sigma (2n-1)\}}$

を満たすものとして定義される。現れる項の重複を許すならば、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pf} (A)&={\frac {1}{2^{n}n!}}\textstyle \sum \limits _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\\&={\frac {1}{n!}}\textstyle \sum \limits _{\sigma \in F_{2n}'}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\end{aligned}}}$

という表示も可能である。ただし

${\displaystyle F_{2n}'=\{\sigma \in S_{2n}|\,\sigma (2i-1)<\sigma (2i)\quad (i=1,\cdots ,n)\}}$

である。

ベクトル空間 V の基底 e₁, e₂, …, e_2n を用い、外積代数 Λ(V) における2-形式

${\displaystyle \omega =\textstyle \sum \limits _{i<j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}\quad (a_{ij}=-a_{ji})}$

を定義すると、その n 乗の外積は

${\displaystyle \wedge ^{\,n}\omega =\omega \wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega ={\frac {1}{n!}}\operatorname {Pf} (A)e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n}}$

であり、自然な形でパフィアンが現れる。これにより、パフィアンはシンプレクティック幾何や微分形式の積分理論にも自然に現れる。

あるグラフ ${\displaystyle G}$ 上の完全マッチングを ${\displaystyle M}$ とする。このとき、

${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{M}\varepsilon (M)w(M)}$

である^[5]。なお、${\displaystyle \varepsilon }$ はレヴィ＝チヴィタ記号、${\displaystyle w}$ は重みである。

パフィアンを表す記法としては、Pf(A) のほかに、行と列の区別を排した

${\displaystyle \operatorname {Pf} (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{2n}),\,\,\,\operatorname {Pf} (1,2,\cdots ,2n)\quad (\operatorname {Pf} (a_{i},a_{j})=a_{ij})}$

といった記法がある。また、スコットランドの数学者トーマス・ミューア（英語版）によって導入された行列式の記法 |A| において右上半分だけ表示する、

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}|a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{12n}\\&a_{23}&\cdots &a_{22n}\\&&\ddots &\vdots \\&&&a_{2n-12n}\end{matrix}}\right|}$

も用いられる。

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最も基本的な性質は、交代行列 A に対して、その行列式との間に成り立つ関係式

${\displaystyle \operatorname {det} (A)=(\operatorname {Pf} (A))^{2}}$

である。奇数次の交代行列の行列式は常に 0 になるため、パフィアンも 0 になる。

また、2n次交代行列 A, 2n次正方行列 B に対して、

${\displaystyle \operatorname {Pf} ({}^{t}\!BAB)=\operatorname {det} (B)\operatorname {Pf} (A)}$

が成り立つ。

また、n次正方行列 B について、

${\displaystyle \operatorname {Pf} {\begin{pmatrix}0&B\\-{}^{t}\!B&0\end{pmatrix}}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\det B}$.

が成り立つ。

2n次交代行列 A に対し、A から i, j 行、i, j 列を取り除いた 2(n − 2)次交代行列を A^{(i, j)} と表すと

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pf} (A)&=\textstyle \sum \limits _{j=1}^{2n}(-1)^{i+j+1}a_{ij}\operatorname {Pf} (A^{(ij)})\\&=\textstyle \sum \limits _{j=1}^{2n}(-1)^{i+j+1}\operatorname {Pf} (a_{i},a_{j})\operatorname {Pf} (a_{1},\cdots ,{\hat {a_{i}}},\cdots ,{\hat {a_{j}}},\cdots ,a_{2n})\end{aligned}}}$

が成り立つ。ただし、2行目において、ˆ は、その成分を取り除くことを意味する。これは行列式における余因子展開に相当する。

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便宜上、F_2n の元である置換 σ を順列 (σ(1), …, σ(2n)) の形で表すこととする。

n = 1 のときの F₂ の元は (1, 2) だけであり、その符号 sgn(σ) は +1 であるから、

${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=a_{12}}$

となる。実際、行列式は、

${\displaystyle \operatorname {det} (A)=(a_{12})^{2}=(\operatorname {{Pf}(A)} )^{2}}$

となる。

n = 2 の場合は、F₄ の元は (1, 2, 3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3) であり、それぞれの符号 sgn(σ) は +1, −1, +1 であるから、

${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23}}$

となる。実際、行列式は、

${\displaystyle \operatorname {det} (A)=(a_{12}a_{34})^{2}+(a_{13}a_{24})^{2}+(a_{14}a_{23})^{2}-2a_{12}a_{13}a_{24}a_{34}-2a_{12}a_{14}a_{23}a_{34}-2a_{13}a_{14}a_{23}a_{24}=(\operatorname {{Pf}(A)} )^{2}}$

となる。

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行列式に対して小行列式を考えたように、パフィアンに対しても小パフィアン（subpfaffian）を考えられる^[6]。${\displaystyle I=i_{1},i_{2},....i_{2q-1},i_{2q}}$とすると、小パフィアンは、

${\displaystyle (\operatorname {Pf} (A))_{I}={\frac {(2q)!}{q!2^{q}}}a_{[i_{1}i_{2}}a_{i_{3}i_{4}}...a_{i_{2q-1}i_{2q}]}}$

で定義される。なお、ブラケットは添え字の反対称化（交代化）を意味する省略記号である。詳しくは反対称テンソルを参照せよ。

このとき、${\displaystyle J=j_{1},j_{2},....j_{2q-1},j_{2q}}$ とすると、交代行列のコレスキー分解により、

${\displaystyle [A]_{I,J}=(\operatorname {Pf} (A))_{I}(\operatorname {Pf} (A))_{J}}$

である。