フリードマン方程式

1. 一様で等方な時空であるFLRW計量を仮定する；

   ${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+a(t)^{2}\left[{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+{r}^{2}\!\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2}\right)\right]}$

   • ${\displaystyle a(t)}$ は、宇宙のスケール因子（膨張因子）と呼ばれる量で、時刻 ${\displaystyle t}$ での宇宙の大きさを相対的に示す量である。
   • ${\displaystyle k}$ は、時空に仮定する曲率で、曲率の正・負・ゼロに対応して、${\displaystyle k{=}+1,\,-1,\,0}$ の値を取る。
2. 物質分布は完全流体であると仮定する。すなわち、エネルギー・運動量テンソルを以下のように仮定する；

   ${\displaystyle T_{\mu \,\nu }=Pg_{\mu \,\nu }+(P+\rho c^{2})\,u_{\mu }u_{\nu }\,}$

   • ${\displaystyle P}$ は圧力、${\displaystyle \rho }$ は密度。
   • ${\displaystyle u_{\mu }}$は観測者の4元速度ベクトル（共動座標系ならば ${\displaystyle u_{\mu }=(c,0,0,0)}$）である。

以上の仮定のもとに、宇宙項（宇宙定数${\displaystyle \Lambda }$）を持つアインシュタイン方程式を書き下すと、次のフリードマン方程式が得られる。

${\displaystyle \left({\frac {\,{\dot {a}}\,}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho }$

${\displaystyle 2{\frac {\,{\ddot {a}}\,}{a}}+\left({\frac {\,{\dot {a}}\,}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}P}$

第2式はエネルギー・運動量保存則を仮定すれば、第1式より導出されるので、実質的に宇宙のダイナミクス（力学的ふるまい）は第1式で与えられる。

フリードマン方程式の描く宇宙のダイナミクスは、

• 状態方程式（${\displaystyle p}$ と ${\displaystyle \rho }$ の関係式）
• 宇宙の曲率 ${\displaystyle k}$
• 宇宙項の有無 ${\displaystyle \Lambda }$

を指定すれば、スケールファクタ ${\displaystyle a(t)}$ の振る舞いとして与えられる。

宇宙項がなく宇宙の曲率をゼロとしたときの物質密度を臨界密度 ${\displaystyle \rho _{c}\equiv {\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$といい、これを用いて、宇宙の密度パラメータを

${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G}{3H^{2}}}\rho }$

と定義する。ただし ${\displaystyle H\equiv {\frac {\,{\dot {a}}\,}{a}}}$ はハッブル定数。

観測的宇宙論では、以上で得られる ${\displaystyle \left(H,\Omega ,k,\Lambda \right)}$ が宇宙モデルを決定する基本的なパラメータになり、これらを宇宙論パラメータと呼ぶ。観測値などは宇宙論パラメータの項参照。

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