ベクトル測度

集合体 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ とバナッハ空間 ${\displaystyle X}$ が与えられたとき、有限加法的ベクトル測度（あるいは、簡潔に測度）とは、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内の任意の互いに素な集合 ${\displaystyle A}$ と ${\displaystyle B}$ に対して

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$

が成り立つような関数 ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to X} のことを言う。

ベクトル測度 ${\displaystyle \mu }$ が可算加法的であるとは、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内の任意の互いに素な集合の列 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ でその合併が　${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ に含まれるようなものに対して、

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$

が成り立つことを言う。但し、右辺の級数はバナッハ空間 ${\displaystyle X}$ のノルムについて収束するものとする。

加法的ベクトル測度 ${\displaystyle \mu }$ が可算加法的であるための必要十分条件は、上述のような任意の列 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ に対して

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\displaystyle \bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\quad \quad \quad (*)}$

が成り立つことである。ここで ${\displaystyle \|\cdot \|}$ は ${\displaystyle X}$ のノルムである。

σ-代数上で定義される可算加法的ベクトル測度は、測度や符号付測度、複素測度よりも一般的である。ただしそれらは、それぞれ拡大区間 ${\displaystyle [0,\infty ]}$、実数の集合、および複素数の集合上に値を取る可算加法的関数である。

区間 ${\displaystyle [0,1]}$ およびその区間に含まれるすべてのルベーグ可測集合の族 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ から成る集合体を考える。そのような任意の集合 ${\displaystyle A}$ に対して

${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}\,}$

を定義する。ここで ${\displaystyle \chi }$ は ${\displaystyle A}$ の指示関数である。この ${\displaystyle \mu }$ がどの空間に値を取るかによって、次の様な二つの異なる結果が生じる。

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ から L^p 空間 ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$ への関数と見なされたとき、${\displaystyle \mu }$ は可算加法的ではないベクトル測度である。

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ から L^p 空間 ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$ への関数と見なされたとき、${\displaystyle \mu }$ は可算加法的なベクトル測度である。

これらの陳述は、上述の条件 (*) から簡単に従う。

Summarize Timeline Fact Check

ベクトル測度 ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to X} に対し、その変動（variation）${\displaystyle |\mu |}$ は

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$

によって定義される。ここで右辺の上限は、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内のすべての ${\displaystyle A}$ に対してその有限数の互いに素な集合へのすべての分割

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$

に対して取られる。また ${\displaystyle \|\cdot \|}$ は ${\displaystyle X}$ 上のノルムである。${\displaystyle \mu }$ の変動は ${\displaystyle [0,\infty ]}$ に値を取る有限加法的関数である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内の任意の ${\displaystyle A}$ に対して

${\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)}$

が成立する。${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$ が有限であるなら、測度 ${\displaystyle \mu }$ は有界変動（bounded variation）に属すると言われる。${\displaystyle \mu }$ が有界変動のベクトル測度であるなら、${\displaystyle \mu }$ が可算加法的であることと ${\displaystyle |\mu |}$ が可算加法的であることは同値である。