ボホナー積分

(X, Σ, μ) を測度空間、B をバナッハ空間とする。ボホナー積分はルベーグ積分とほとんど同じ方法で定義される。X 上の B-値単函数 s は、完全加法族 Σ の互いに交わらない元の族 E_i と B の相異なる元 b_i を使って

${\displaystyle s(x)=\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}}$

なる形の和に表される。ただし、χ_E は集合 E の指示函数である。単函数 s をこの形に書くとき, b_i が 0 でないような i では必ず μ(E_i) が有限値となるならば、この単函数 s は可積分であるといい、その積分を

${\displaystyle \int _{X}\left[\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (E_{i})b_{i}}$

で定義することは通常のルベーグ積分と全く同じである。

可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるとは、可積分な単函数列 s_n で

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}d\mu =0}$

を満たすようなものが存在するときに言う。ここで左辺の積分は通常のルベーグ積分である。

このとき、ボホナー積分は

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu }$

と定義される。可測函数がボホナー可積分であるための必要十分条件は、それがボホナー空間 L¹ に属することである。

ルベーグ積分についてよく知られた性質の多くは、ボホナー積分に対しても引き続き成立する。おそらく最も著しい例はボホナーの可積分判定条件で、これは (X, Σ, μ) が有限測度空間ならばボホナー可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるための必要十分条件が

${\displaystyle \int _{X}\|f\|_{B}\,d\mu <\infty }$

であることを述べるものである。ただし、函数 ƒ: X → B がボホナー可測であるとは、B の可分部分空間 B₀ に値をとる函数 g で、B の任意の開集合 U の逆像 g⁻¹(U) が Σ に属するようなものを用いて、μ に関してほとんど至る所 f = g となるときにいう。つまり、ボホナー可測函数 ƒ は μ に関して殆ど至る所単函数列の極限になっている。

ボホナー積分に対しても優収斂定理の一種が成り立つ。具体的には、ƒ_n: X → B が完備測度空間上の可測函数列でほとんど至る所 ƒ に収斂し、ほとんど全ての x ∈ X で ‖f_n(x)‖_B ≤ g(x) を満たす g ∈ L¹(μ)が存在するならば、n → ∞ とする極限で

${\displaystyle \int _{X}\|f-f_{n}\|_{B}\,d\mu \to 0}$

および、任意の E ∈ Σ に対して

${\displaystyle \int _{E}f_{n}\,d\mu \to \int _{E}f\,d\mu }$

が成立する。

ƒ がボホナー可積分ならば不等式

${\displaystyle \left\|\int _{E}f\,d\mu \right\|_{B}\leq \int _{E}\|f\|_{B}\,d\mu }$

が任意の E ∈ Σ に対して成立する。特に集合函数

${\displaystyle E\mapsto \int _{E}f\,d\mu }$

は μ に関して絶対連続な X 上の可算加法的 B-値ベクトル測度を定める。

ボホナー積分に関してラドン–ニコディムの定理が一般には成立しないという重要な事実がある。これはバナッハ空間のラドン–ニコディム性として知られる重要な性質である。具体的に、μ を可測空間 (X, Σ) 上の測度とすると、B が μ に関するラドン–ニコディム性を持つとは、(X, Σ) 上の B に値をとる任意の有界変動かつ μ-絶対連続な可算加法的ベクトル測度 γ に対して、μ-可積分函数 g: X → B で ${\displaystyle \gamma (E)=\int _{E}g\,d\mu }$ を任意の可測集合 E ∈ Σ に対して満たすものが存在することをいう^[1]。

バナッハ空間 B がラドン–ニコディム性を持つとは、B が任意の有限測度に関してラドン–ニコディム性を持つときに言う。l₁ はラドン–ニコディム性を持ち、c₀ や Rⁿ の有界開領域 Ω に対する L^∞(Ω), L¹(Ω) および C(Ω) はラドン＝ニコディム性を持たないことが知られている。ラドン–ニコディム性を持つ空間には、可分な双対空間（ダンフォード–ペティスの定理）や回帰的バナッハ空間（特にヒルベルト空間）などがある。