ペンテーション

ペンテーション (英: pentation) は、テトレーションの次の、5番目のハイパー演算である。つまり、自らのテトレーションを指定された回数反復する演算である。^[1]

第1から第5のハイパー演算は次のとおり。

• 加算 (hyper1)

  ${\displaystyle a+b=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{{\text{長 さ }}b}}$

• 乗算 (hyper2)

  ${\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{{\text{長 さ }}b}}$

• 冪乗 (hyper3)

  ${\displaystyle a^{b}=a\uparrow b=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{{\text{長 さ }}b}}$

• テトレーション (hyper4)

  ${\displaystyle ^{b}a=a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{{\text{長 さ }}b}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{{\text{高 さ }}b}}$

• ペンテーション (hyper5)

  ${\displaystyle {\begin{aligned}_{b}a&=a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a} _{{\text{長 さ }}b}=\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高 さ }}b}\\&\left.{\begin{matrix}=&\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{{\text{高 さ }}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{{\text{高 さ }}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{{\text{高さ}}a}}}}\end{matrix}}\right\}{\text{下 か ら }}b{\text{層}}\end{aligned}}}$

a を底、 b を層数という。

ペンテーションは底 a を固定するごとに初等帰納的関数であるが、 a を変数と見なすと初等的ではない。

ちなみにペンテーションの反復による演算（6番目のハイパー演算）はヘキセーションと呼ばれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}a\uparrow ^{4}b&=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow \uparrow a} _{{\text{長 さ }}b}=\underbrace {_{_{_{_{_{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高 さ }}b}\\&\left.{\begin{matrix}=&\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高 さ }}\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{\underbrace {\vdots } _{{\text{高 さ }}\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高さ}}a}}}}\end{matrix}}\right\}{\text{下 か ら }}b{\text{層}}\end{aligned}}}$