ランダウ分布

ランダウにより最初に書かれた確率密度関数は、複素積分により定義される。

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,}$

ここでaは任意の正の実数で、積分経路が虚軸と並行で正の実軸と交差することを意味する。${\displaystyle \log }$は自然対数である。

次の実数積分は上と等価である。

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$

ランダウ分布の全てのものは、元の分布を特性関数^[2]を持つパラメータ${\displaystyle \alpha =1}$,${\displaystyle \beta =1}$^[3]の安定分布の位置スケールのものに拡張することによって得られる。

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$

ここで ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$、${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$ これが密度関数を与える

${\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,}$

${\displaystyle p(x)}$の元の形式は ${\displaystyle \mu =0}$ で ${\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}}$である。以下は${\displaystyle \mu =0}$ と ${\displaystyle c=1}$の場合の${\displaystyle p(x;\mu ,c)}$の近似である^[4]。

${\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).}$

• ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$のとき${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,}$.
• ランダウ分布は安定度パラメータ ${\displaystyle \alpha }$と歪度パラメータ ${\displaystyle \beta }$がともに1の安定分布である。