モーメント (確率論)

X を確率変数、α を定数としたときに、α に関するn次モーメント (n-th order moment) は次で定義される。

${\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }$

ここで、⟨…⟩ は期待値を取る操作を表す。

X が離散型の場合は、

${\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-\alpha )^{n}\Pr(X=x_{i})}$

ここで x₁, x₂, … は確率変数 X の実現値である。

X が連続型の場合は、

${\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }(x-\alpha )^{n}p(x)\,dx}$

ここで p(x) は確率変数 X の確率密度関数である。

特に α = 0 の場合に、モーメントは m_n と記される。

${\displaystyle m_{n}=\langle X^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }$

期待値 μ は 1次のモーメント m₁ に等しい。分散 σ² は これと2次のモーメント、つまり m₁, m₂ を用いて表すことができる。すなわち、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=m_{1},\\\sigma ^{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}.\end{aligned}}}$

m₁ に関する n 次モーメントを μ_n で表し、n 次の中心モーメント (n-th order center moment)、またはn 次の中心化モーメントという。

${\displaystyle \mu _{n}=\langle (X-m_{1})^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }$

ここで、2次の中心モーメント μ₂ は分散と一致する。

一般の確率分布において、モーメントは必ずしも有限値として存在するとは限らない。実際、コーシー分布

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{x^{2}+1}}}$

において、モーメントは全て無限大に発散する^[1]。

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確率変数 X の積率母関数を次の式で定義する：

${\displaystyle {\begin{aligned}M(\xi )&:=\langle e^{\xi X}\rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{\xi x}p(x)\,dx\end{aligned}}}$

その級数表示

${\displaystyle M(\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\langle X^{n}\rangle }{n!}}\xi ^{n}}$

においては、ξ の n 次の項の係数部分に n 次のモーメント m_n = ⟨Xⁿ⟩ が現れる。この関係からモーメントは、モーメント母関数の導関数によって、次のように与えることができる。

${\displaystyle m_{n}={\frac {d^{n}M(\xi )}{d\xi ^{n}}}{\biggr \vert }_{\xi =0}}$

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確率変数Xに対する特性関数を次のように定義する：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\xi )&:=\langle e^{i\xi X}\rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\xi x}p(x)\,dx\end{aligned}}}$

特性関数についても、その級数表示において、n 次のモーメントは ξ の n 次の項の係数に現れる。

${\displaystyle \Phi (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\langle X^{n}\rangle }{n!}}(i\xi )^{n}}$

この関係からモーメントは、特性関数の導関数によって、次のように与えることができる。

${\displaystyle m_{n}={\frac {1}{i^{n}}}{\frac {d^{n}\Phi (\xi )}{d\xi ^{n}}}{\biggr \vert }_{\xi =0}}$

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n 次のキュムラントは、n 次以下のモーメントで表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=m_{1}\\c_{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}\\c_{3}&=m_{3}-3m_{1}m_{2}+2{m_{1}}^{3}\\c_{4}&=m_{4}-4m_{3}m_{1}-3{m_{2}}^{2}+12m_{2}{m_{1}}^{2}-6{m_{1}}^{4}\\&\vdots \end{aligned}}}$

逆に、n 次のモーメントは、n 次以下のキュムラントで表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=c_{1}\\m_{2}&=c_{2}+{c_{1}}^{2}\\m_{3}&=c_{3}+3c_{1}c_{2}+{c_{1}}^{3}\\m_{4}&=c_{4}+3{c_{2}}^{2}+4c_{1}c_{3}+6{c_{1}}^{2}c_{2}+{c_{1}}^{4}\\&\vdots \end{aligned}}}$

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確率質量関数が

${\displaystyle P(x=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$

で与えられるポアソン分布において、モーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\lambda \\m_{2}&=\lambda ^{2}+\lambda \\m_{3}&=\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+\lambda \\&\vdots \end{aligned}}}$

確率密度関数が

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left({-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)}$

で与えられる正規分布において、n 次の中心モーメントは n が奇数のときは 0 で、偶数のときのみ 0 でない値をとる。

${\displaystyle \mu _{n}={\begin{cases}0&(n:{\text{odd}})\\(n-1)!!~\sigma ^{n}&(n:{\text{even}})\end{cases}}}$

n!! は二重階乗。