ラヴィ変換

つまりx, y, zがすべて正ならば、3辺の長さをa, b, cとする退化していない三角形が存在する。

さらにx, y, zは、その三角形の頂点の内接円における接線長に対応する。

• ヘロンの公式 S = √p(p − a)(p − b)(p − c) =√xyz(x + y + z)。

• 内接円の半径の公式 ${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}$。
• A傍接円の半径の公式 ${\displaystyle r_{A}={\frac {S}{p-a}}={\sqrt {{\frac {yz}{x}}(x+y+z)}}}$。

• 外接円の半径の公式 ${\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}={\frac {(x+y)(y+z)(z+x)}{4{\sqrt {xyz(x+y+z)}}}}}$^[3]。

• 三角形の3辺の長さとなるような、変数a, b, cにおいて、

${\displaystyle {\frac {a}{b+c-a}}+{\frac {b}{c+a-b}}+{\frac {c}{a+b-c}}\geq 3}$

が成り立つことを示す。

ラヴィ変換によって、不等式は次のように変形できる。

${\displaystyle {\frac {y+z}{x}}+{\frac {z+x}{y}}+{\frac {x+y}{z}}={\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6}$

相加相乗平均の関係式X + 1/X ≧ 2 を用いることにより、不等式が成立することが分かる^[3]。

• ラヴィ変換を逆に用いる、つまり正の数x, y, zをa, b, cに変換する方法も効果的である。例えば、ネスビットの不等式は次のように証明できる。

${\displaystyle {\frac {x}{y+z}}+{\frac {y}{z+x}}+{\frac {z}{x+y}}\geq {\frac {3}{2}}}$.

ラヴィ変換と逆の変換をして、

${\displaystyle {\frac {b+c}{a}}+{\frac {c+a}{b}}+{\frac {a+b}{c}}={\frac {b}{a}}+{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\geq 6.}$

この式は、相加相乗平均の不等式から成立が確認できる^[3]。

• オイラーの不等式をラヴィ変換で証明する。

${\displaystyle {\begin{aligned}R\geq 2r&\iff {\frac {abc}{4S}}\geq {\frac {2S}{p}}\\&\iff pabc\geq 8S^{2}\\&\iff (x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz\\&\iff {\frac {y+z}{x}}+{\frac {z+x}{y}}+{\frac {x+y}{z}}\geq 6\end{aligned}}}$

Summarize Timeline Fact Check

4つのパラメータa, b, c, dがある場合は、ラヴィ変換と同様に、次のような変換を施すことも有用である^[要出典]。

${\displaystyle {\begin{cases}a=x+y\\b=y+z\\c=z+t\\d=t+x\end{cases}}}$

ただし、この変換はa + c = b + d = x + y + z + tが成立する場合に全単射になる。これは、円に外接する四角形とピトーの定理から説明できる。

全単射となるように変換したい場合、次のようにすることもある。

${\displaystyle {\begin{cases}a={\hphantom {x+}}\;y+z+t\\b=x{\hphantom {+y}}\;+z+t\\c=x+y{\hphantom {+z}}\;+t\\d=x+y+z\end{cases}}}$

から、

${\displaystyle {\begin{cases}x=p-a\\y=p-b\\z=p-c\\t=p-d\end{cases}}}$

ただし、p = a + b + c + d/3。