円に外接する四角形

円に外接する四角形の例として凧形、特にひし形がある。

内接円だけでなく外接円も持つ四角形は双心四角形と呼ばれる。双心四角形の例として直角凧形がある。双心四角形は円に外接し、2本の対接点連結が直交するものに限られる。

円に外接する台形は接線台形と呼ばれることもある。

円に外接する四角形ABCD の頂点A〜D から内接円に引いた接線長^[6]（接点との距離、tangent length) をそれぞれ e〜h とする。頂点から引いた2本の接線の長さは等しい。

円に外接する四角形と内接円の接点4点を頂点とする四角形は接触四角形 (contact quadrilateral) と呼ばれ円に内接する四角形である。

対辺上の接点を結ぶ線分（図では k, l）は対接点連結^[要出典] (tangency chord) と呼ばれる。これは接触四角形の対角線である。

四角形が円に外接することは、その内角の二等分線4本の内、ある3本が1点で交わることと同値であり^[7]、その交点は四角形の内心である。

ピトーの定理によれば、円に外接する四角形の2組の対辺の長さの和は等しい。またその長さは四角形の半周長である。 $${\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s}$$ 逆に a + c = b + d ならばその四角形は円に外接する^[2]:p.65[7]。

台形でない凸四角形ABCD において、対辺AB, CD の延長の交点を E、対辺BC, DA の延長の交点を F とする。 四角形ABCD が円に外接することと、次の式が成り立つことは同値である^[7]： $${\displaystyle BE+DF=DE+BF\quad \mathrm {or} \quad AE-EC=AF-FC}$$

他に、四角形が円に外接する必要十分条件は、△ABC と △ADC の内接円が外接することである^[2]:p.66。

1954年、Iosifescu は凸四角形が円に外接する必要十分条件を次のように、対角線と辺のなす角で表した^[8]： $${\displaystyle \tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}}$$

さらに、4辺が a, b, c, d の凸四角形が円に外接することは $${\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}$$ と同値である。ここで R_a, R_b, R_c, R_d はそれぞれ辺 a, b, c, d とその隣接する辺の延長で接する円の半径である^[9]:p.72。

他の特徴づけとして、対角線で分割してできる4つの三角形を用いるもの、傍接円に関するもの^[10]などがある。

円に外接する四角形の面積K は、内半径と半周長の積である（一般の円外接多角形で成り立つ）： $${\displaystyle {\begin{aligned}K&=r\cdot s\\&=r(a+c)=r(b+d)=r(e+f+g+h)\end{aligned}}}$$ また、4辺a, b, c, d と2つの対角線の長さ p, q で表すと次の式になる^[11]： $${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(e-g)^{2}(f-h)^{2}}}\end{aligned}}}$$ 接線長e, f, g, h のみで表すと次の式になる^[12]： $${\displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}}$$ a〜d と e〜h を両方用いれば、次のようにも表せる^[12]:p.128： $${\displaystyle K={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}}$$ さらに、この四角形が円に内接もするならば eg = fh が従い、双心四角形の面積公式 ${\displaystyle {\sqrt {abcd}}}$ となる。

辺の長さと三角法を使う面積公式は、以下のようなものがある^{[11][13][14][15]:p.157}： $${\displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}}$$ 円に外接する四角形の辺長が与えられたとき、その面積が最大となるのは、対角の和が180°となるとき、つまり円に外接する（双心四角形となる）ときである。また微分幾何学を用いることによっても証明できる^[16]。

2つの隣接辺と角によって表すこともできる^[11]:p.30： $${\displaystyle K=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}}$$ 対角線のなす角 θ を用いた、次のような面積公式もある^[11]:p.24： $${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\frac {1}{2}}|(ac-bd)\tan \theta |\\&={\frac {1}{2}}|(e-g)(f-h)\tan \theta |\end{aligned}}}$$ ただし凧形では θ は 90°であるから上の式は成り立たない。

さらに、四角形の頂点と内心I の距離を用いたものもある^[14]:p.19： $${\displaystyle K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin {\frac {A+C}{2}}}$$

上記の公式から円に外接する四角形の面積 K と辺長a, b, c, d について $${\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}}}$$ が成り立つ。等号成立条件は四角形が双心四角形である場合。

T. A. Ivanova (1976) によれば、内半径と半周長について $${\displaystyle s\geq 4r}$$ が成り立つ。等号成立条件は四角形が正方形である場合^[17]。この式と K = rs から $${\displaystyle K\geq 4r^{2}}$$ が導かれる。

円に外接する四角形の内接円と各辺の接点と内心を結ぶ半径は、四角形を4つの直角凧形に分割する。

円に外接する四角形を面積と周長の等しい2つの多角形に分ける直線は、内心を通る^[7]:p.65。

円に外接する四角形ABCD の内半径は、面積 K を半周長 s で割ったものである（一般の円外接多角形で成り立つ）： $${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {K}{s}}\\&={\frac {K}{a+c}}={\frac {K}{b+d}}={\frac {K}{e+f+g+h}}\end{aligned}}}$$ 円に外接する四角形の各辺長が与えられたとき、その内半径が最大となる四角形は双心四角形である。

接線長e, f, g, h で表すと次の式となる^{[18]:Lemma2[19]}： $${\displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}}$$ 各頂点と内心I の距離 u = AI, v = BI, x = CI, y = DI で表すと次の式になる^[20]： $${\displaystyle r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}}$$ ただし ${\displaystyle \sigma$ :={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)}

内心と辺により作られる三角形 △IAB, △IBC, △ICD, △IDA の内半径をそれぞれ r₁, r₂, r₃, r₄ とすると、次の式が成り立つ^[21]： $${\displaystyle {\frac {r_{1}r_{3}-r_{2}r_{4}}{(r_{1}+r_{3})-(r_{2}+r_{4})}}={\frac {r}{2}}}$$ 対角線によって作られる △ABC, △BCD, △CDA, △DAB の内半径をそれぞれ r₁, r₂, r₃, r₄ とすると、次の式が成り立つ^[22]： $${\displaystyle r={\frac {G+{\sqrt {G^{2}-4r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}{2(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}$$ ただし ${\displaystyle G=r_{1}r_{2}r_{3}+r_{2}r_{3}r_{4}+r_{3}r_{4}r_{1}+r_{4}r_{1}r_{2}}$.

円に外接する四角形ABCD について、内角の正弦は接線長e, f, g, h で表せ、次のようになる^[12]： $${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}$$ $${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}$$ $${\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}$$ $${\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}$$ 対辺上の接点を結ぶ直線k, l のなす角の正弦は、次のように表せる^[12]： $${\displaystyle \sin \varphi ={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}}$$

対角線の長さp = AC, q = BD は、接線長e, f, g, h で表すと、次のようになる^[18]:Lemma3： $${\displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$$ $${\displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.}$$

円に外接する四角形の対接点連結の長さk, l は、接線長e, f, g, h で表すと次のようになる^[12]： $${\displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},}$$ $${\displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}}}$$ ここで四角形の4辺の a, b, c, d について a = e + f , c = g + h , b = f + g , d = h + e より $${\displaystyle {\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}}$$ である^[12]。2つの対接点連結には以下の性質がある。

• 双心四角形ならば直交する^[12]:p.124。
• 凧形ならば長さが等しい^[23]:p.166。

円に外接する四角形ABCD について、AB, CD が BC, DA よりも短ければ、AB, CD 間の対接点連結は BC, DA 間の対接点連結より長い^[24]:p.162。

AB, CD と内接円の接点をそれぞれ W, Y、WY と BD の交点を M とする。${\displaystyle {\tfrac {BW}{DY}}}$ と ${\displaystyle {\tfrac {BM}{DM}}}$ は等しい^[25]。

一般の四角形ABCD において、対角線AC, BD の中点をそれぞれ M₁, M₂ とする。対辺AB と CD の延長の交点を J、対辺BC と DA の延長の交点を K とする。線分JK の中点を M₃ とする。このとき3点M₁, M₂, M₃ は共線である（ニュートン・ガウス線、あるいは単にニュートン線）が、特に四角形ABCD が円I に外接するならば、内心I もニュートン線上にある^[26][7]:p.43。

一般に、四角形に内接する楕円（内接楕円（英語版））の中心は、そのニュートン線上にある^[27]。

また接触四角形の対辺の交点を L, M とすると、J, L, K, M は共線である^[28]:Cor.3。これは、パスカルの定理の特殊な場合（極限）である。

内接円と4辺AB, BC, CD, DA の接点をそれぞれ T₁〜T₄ とする。T_i の等長共役点を N_i とする (i = 1, …, 4)（例えば AT₁ = BN₁）。円に外接する四角形のナーゲル点は直線N₁N₃, N₂N₄ の交点として定義される。N₁N₃, N₂N₄ はどちらも四角形の周長を二等分する。さらに四角形のナーゲル点N、質量中心G、内心Iは共線で NG = 2GI が成り立つ。この線はナーゲル線と呼ばれる^[29]。

円に外接する四角形ABCD の内心を I、対角線の交点を P、△AIB, △BIC, △CID, △DIA の垂心をそれぞれ H_X, H_Y, H_Z, H_W とすると、5点P, H_X, H_Y, H_Z, H_W は共線である^[14]:p.33。

2つの対角線と2つの対接点連結は共点である^{[15]:pp.156-157[14]:p.3}。これは、六角形におけるブリアンションの定理の極限として証明することもできる。実際に、頂点を順に P₁〜P₆ とすると、P₁〜P₃, P₄〜P₆ がそれぞれ共線となるように四角形P₁P₃P₄P₆ に退化させると、極限としては P₂, P₅ は接点となり、対角線P₁P₄, P₃P₆, 対接点連結P₂P₄ が共点となるからである。

対辺AB, CD の交点J と BC, DA の交点K とを結ぶ直線JK と、対角線の交点P と内心I を結ぶ直線IP は直交する^[28]:Cor.4。

円に外接する四角形の内心はニュートン線上にある^[30]。

円に外接する四角形ABCD の内心I と頂点の距離について次の式が成り立つ^[14]:p.18： $${\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {IA\cdot IB}{IC\cdot ID}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {IB\cdot IC}{ID\cdot IA}}}$$ これらから次の式が成り立つ^[31]： $${\displaystyle AB\cdot BC=IB^{2}+{\frac {IA\cdot IB\cdot IC}{ID}}}$$ また、次の式が成り立つ^[14]:p.18： $${\displaystyle IA\cdot IC+IB\cdot ID={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}}$$ ひし形でない外接四角形ABCD において、対角線AC, BD の中点をそれぞれ M_p, M_q とすると、次の式が成り立つ^[32][33]： $${\displaystyle {\frac {IM_{p}}{IM_{q}}}={\frac {IA\cdot IC}{IB\cdot ID}}={\frac {e+g}{f+h}}}$$ ただし e, f, g, h はそれぞれ A, B, C, D から引いた接線長である。

このことから、ひし形でない外接四角形において、下の3個は同値である^[14]:p.24：

• 内心と幾何中心が一致する
• ${\displaystyle e+g=f+h}$
• ${\displaystyle IA\cdot IC=IB\cdot ID}$

円に外接する四角形を四節リンク機構（英語版）とみなすとき、四角形が凸であれば、一辺と4辺長をそれぞれ固定したままで動かしても、依然ある円に外接し続ける^[34][35]。例えば正方形を辺長を保ったまま動かしても、ひし形になるだけで、ある円に外接する。このように動かすとき、四角形の内心は半径が √abcd/s の円を描く。ただし、a, b, c, d は四角形の4辺長、s は半周長である。

凸四角形ABCD において、対角線の交点を P とする。四角形ABCD が円に外接するとき、4つの三角形△APB, △BPC, △CPD, △DPA についての多くの性質を持つ。

△APB, △BPC, △CPD, △DPA の内半径をそれぞれ r₁〜r₄ とする。チャオとシメオノフは四角形が円に外接することと次の式の成立が同値であることを証明した^[36]。 $${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}}$$ ただし、この性質は Vaynshtejn が5年早く発表していた^{[23]:p.169[37]}。この問題の解決は、Vasilyev と Senderov の証明した性質が使われた。四角形の辺を底辺と見たときの、4つの三角形の高さをそれぞれ h₁〜h₄ とする。四角形が円に外接することと、次の式が成り立つことは同値である^[8][37]： $${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$$ 傍接円についても同様の性質がある。△APB, △BPC, △CPD, △DPA の P に関する傍接円の半径をそれぞれ r_a, r_b, r_c, r_d とする。四角形が円に外接することと、次の式が成り立つことは同値である^[2]:p.70： $${\displaystyle {\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{c}}}={\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{d}}}}$$ さらにこれらの三角形の外接円の半径をそれぞれ R₁〜R₄ とすると $${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$$ が成り立つことも、四角形が円に外接する必要十分条件となる^{[38]:pp.23-24}。

1996年、Vaynshtejn は美しい性質を初めて証明し、いくつかの雑誌やウェブサイトで掲載された^[2]:pp.72-73。それは、凸四角形が対角線によって4つの三角形に分割されていて、それらの三角形の内心が共円ならば、その四角形は円に外接する、というものである。このとき、4つの内心を頂点とする四角形は円に内接する直交対角線四角形である^[2]:p.72。対角線の交点の角内にある傍接円に関しても、同様の性質が成り立ち、4つの傍心を頂点とする四角形は円に内接する四角形となる^[2]:p.74。

凸四角形ABCD とその対角線の交点P について、角B あるいは角D 内の △APB, △BPC, △CPD, △DPA の傍心が共円であることと、四角形が円に外接することは同値である^[2]:p.79。傍接円半径をそれぞれ R_a, R_b, R_c, R_d とすると、次の式が成り立つこともまた、四角形が円に外接する必要十分条件となる^[2]:p.80： $${\displaystyle {\frac {1}{R_{a}}}+{\frac {1}{R_{c}}}={\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{d}}}}$$ さらに次の式が成り立つこともそれらと同値である^[8]。 $${\displaystyle {\frac {a}{\triangle (APB)}}+{\frac {c}{\triangle (CPD)}}={\frac {b}{\triangle (BPC)}}+{\frac {d}{\triangle (DPA)}}}$$ ただし △(APB) でその三角形の面積を表す。

AP = p₁, BP = p₂, CP = q₁, DP = q₂ とする。以下の式の成立も、四角形が円に外接する必要十分条件である^[39]。 $${\displaystyle ap_{2}q_{2}+cp_{1}q_{1}=bp_{1}q_{2}+dp_{2}q_{1}}$$ または^[2]:p.74 $${\displaystyle {\frac {(p_{1}+q_{1}-a)(p_{2}+q_{2}-c)}{(p_{1}+q_{1}+a)(p_{2}+q_{2}+c)}}={\frac {(p_{2}+q_{1}-b)(p_{1}+q_{2}-d)}{(p_{2}+q_{1}+b)(p_{1}+q_{2}+d)}}}$$ または^[2]:p.77 $${\displaystyle {\frac {(a+p_{1}-q_{1})(c+p_{2}-q_{2})}{(a-p_{1}+q_{1})(c-p_{2}+q_{2})}}={\frac {(b+p_{2}-q_{1})(d+p_{1}-q_{2})}{(b-p_{2}+q_{1})(d-p_{1}+q_{2})}}}$$

円I に外接する四角形ABCD において、内接円と4辺AB, BC, CD, DA の接点をそれぞれ W, X, Y, Z とする。

円に外接する四角形ABCD において、次の条件は互いに同値である^{[40]:Thm. 2}：

• ${\displaystyle AD\;/\!/\;BC}$（AD と BC は平行）
• ${\displaystyle \angle AIB=90^{\circ }\ \mathrm {or} \ \angle CID=90^{\circ }}$
• ${\displaystyle WA\cdot WB=YC\cdot YD}$

円に外接する四角形が凧形であるための十分条件として、以下がある^{[23][12]:Cor.3}。

• 1組の隣り合う辺が等しい。
• 1組の向かい合う接線長が等しい。
• 1組の対角が等しい。
• 内心が、ある対角線上にある。（このときこの対角線は対称軸となる）
• ある対角線が周長または面積を二等分する。
• 対角線が、ある対角線の中点で交わる。
• 2組の対辺の長さの積が等しい。
• 対角線が直交する。
• 2組の対辺の中点を結んだ線分 (bimedians) の長さが等しい。
• 2本の対接点連結の長さが等しい。

円に外接する四角形がひし形であるための十分条件として、以下がある^[41]。

• 平行四辺形である。
• 2組の向かい合う接線長がそれぞれ等しい。
• 対角線の交点が内心に一致する。

双心四角形である、つまり外接円も持つための十分条件には以下のようなものがある^{[5][12]:p.124[28]}。

• ${\displaystyle WY\perp XZ}$（言い換えると、対接点連結が直交、接触四角形が直交対角線四角形）
• ${\displaystyle AW\cdot CY=BW\cdot DY}$
• ${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}}$

また、円に外接する四角形で4辺の長さが順に与えられているとき、その中で内半径が最大であるものは双心四角形である^{[42]:pp.392-393}。