リウヴィル関数

ポリア問題は、1919 年ジョージ・ポリアによって提起された予想である。 この問題は、

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$ (オンライン整数列大辞典の数列 A002819)

と定義された ${\displaystyle L(n)}$ が ${\displaystyle L(n)\leq 0}$ となるような n > 1 が存在するかという問いであった。この答えは肯定的であることが判明した。最小の反例は n = 906150257 であり、1980年に田中穣により発見された。その後、L(n) > 0.0618672√n となる正整数 n が無限個存在することが示された^[1]一方、同じ手法を用いて、L(n) < −1.3892783√n となる正整数 n も無限個存在することが示されている^[2]。

リーマン予想が正しいと仮定すれば、任意の ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ごとにある絶対定数 ${\displaystyle C>0}$ が存在し、累積和関数 ${\displaystyle L(x)\equiv L_{0}(x)}$ は

${\displaystyle L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right)}$

のオーダーになる^[2]。

関連する総和を

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}}$

として、T(n) ≥ 0 が十分大きな n ≥ n₀ に対して成り立つかも未知であった（この予想は、しばしば誤ってトゥラーン・パールの予想と呼ばれている）。この予想はHaselgrove (1958) によって反証され、T(n) は無限回負の値を取ることが示された。常に正の値となる予想が正しければリーマン予想の証明が導けることは、トゥラーンによって証明されている。

より一般的に、正整数 x に対するリウヴィル関数の重み付き累積和関数を、任意の ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ について以下のように定義すれば、上に示した関数はその特殊例 ${\displaystyle L(x):=L_{0}(x)}$ と ${\displaystyle T(x)=L_{1}(x)}$ になる^[2]。

${\displaystyle L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.}$

これらの ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ で重みづけられた累積和関数はメルテンス関数（英語版）、すなわちメビウス関数の重み付き累積和に関連している。いわゆる「重みなし」または「通常の」関数 ${\displaystyle L(x)}$ は総和

${\displaystyle L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n)}$

と完全に一致している。さらに、これらの関数もまた、同様な上限による漸近的関係を満たす^[2]。例えば、いかなる ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}}$ に対しても

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}$

を満たすような絶対定数 ${\displaystyle C_{\alpha }>0}$が存在する。 ペロンの公式を適用するか、同じことだが主要部に（逆）メリン変換を施すことにより、

${\displaystyle {\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx}$

を得る。これに逆変換を施せば、${\displaystyle x>1}$, ${\displaystyle T\geq 1}$ かつ ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$ のとき

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T)}$

であることが示せる（ここでは ${\displaystyle \sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)}$ とおき、剰余項を ${\displaystyle E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })}$ および ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ のとき ${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0}$ としている）。

とくに、リーマン予想 (RH) が真であり、${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma }$ で表されるリーマンゼータ関数の非自明な零点が全て単純零点であると仮定すれば、任意の ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$ および ${\displaystyle x\geq 1}$ に対して、全ての v ごとに ${\displaystyle v\leq T_{v}\leq v+1}$ が

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x)}$

を満たすような ${\displaystyle \{T_{v}\}_{v\geq 1}}$ の無限列が存在することになる。ただしここで、任意の順次小さくなる ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha }$ に対し

${\displaystyle I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds}$

と定義し、剰余項

${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}}}$

はここでももちろん ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ のとき 0 に収束するものとする。これらの正確な解析的式展開もまた、重み付きメルテンス関数の場合に対応する、同様な属性を共有している。それに加え、${\displaystyle \zeta (1/2)<0}$ であるので、${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$ to ${\displaystyle M(x)}$ の形の新たな類似性により、上に示したいくつかの数式における主要項から、正整数 x 上のこれらの関数値に対する負のバイアスをほぼ予想することができる。

• Pólya, G. (1919). “Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 28: 31–40. 
• Haselgrove, C. Brian (1958). “A disproof of a conjecture of Pólya”. Mathematika 5 (2): 141–145. doi:10.1112/S0025579300001480. ISSN 0025-5793. MR0104638. Zbl 0085.27102. 
• Lehman, R. (1960). “On Liouville's function”. Mathematics of Computation 14 (72): 311–320. doi:10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5. MR0120198. 
• Tanaka, Minoru (1980). “A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function”. Tokyo Journal of Mathematics 3 (1): 187–189. doi:10.3836/tjm/1270216093. MR0584557. 
• Weisstein, Eric W. “Liouville Function”. mathworld.wolfram.com (英語).
• “Liouville function”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]