リウヴィル関数

リウヴィルラムダ関数（リウヴィルラムダかんすう、英: Liouville function）は、フランスの数学者ジョセフ・リウヴィルにちなんで名付けられ、ギリシャ文字 $\lambda$ を用いて $\lambda (n)$ と表記する、重要な数論的関数である。この関数の値は、 $n$ が素数を偶数回掛け合わせた数 ( $0$ 回でもよい) であるとき $1$ となり、奇数回掛け合わせた数であるとき $-1$ となる。

算術の基本定理より、任意の正整数 $n$ は素数の冪乗の積の形に素因数分解表示することができ、（積の順序を除いて）その表示は一意に定まる。

n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}

.

ここで $p_{1},\cdots ,p_{k}$ はいずれも素数であり、 $a_{1},\cdots ,a_{k}$ はいずれも正整数とする。素数オメガ関数（英語版） $\Omega (n)$ は、 $n$ の素因数分解に含まれる素数の個数を重複度を含めて数える関数である:

\Omega (n)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}

よって、リウヴィル関数は次式で定義される。

\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}

(オンライン整数列大辞典の数列 A008836).

性質

$\Omega (n)$ は完全加法的関数である、つまり、 $\Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)$ が常に成り立つから、 $\lambda (n)$ は完全乗法的関数である。 $1$ は素因数を含まないから $\Omega (1)=0$ となるので、 $\lambda (1)=1$ である。

$\lambda (n)$ はメビウス関数 $\mu (n)$ とも関係している。 $n$ が平方因子をもたない整数 $b$ を用いて $n=a^{2}b$ と表されるとき、

\lambda (n)=\mu (b)

となる。

$n$ の約数 $d$ についてリウヴィル関数の総和をとると、完全平方に関する指示関数となる。

\sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is a perfect square,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

この式のメビウス反転は

\lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right)

となる。

$\lambda$ のディリクレ逆元はメビウス関数の絶対値であり、 $\lambda ^{-1}(n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n)$ となる。これは平方因子をもたない整数の指示関数である。

級数

リウヴィル関数のディリクレ級数にはリーマンゼータ関数が登場する。

{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}

また

\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.

リウヴィル関数のランベルト級数（英語版）は

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)

である。ここで $\vartheta _{3}(q)$ はヤコビのテータ関数である。

重みつき累積和関数についての予想

$n=10^{4}$ までのリウヴィル累積和関数 $L(n)$ 。一目瞭然な振動は、リーマンゼータ関数の最初の非自明な零点の影響による。

$n=10^{7}$ までのリウヴィル累積和関数 $L(n)$ 。振動の明らかなスケール不変性に注目。

$n=2\times 10^{9}$ までのリウヴィル累積和関数 $L(n)$ の正負を反転させた両対数グラフ。緑色のスパイクは、ポリア予想が成り立たない狭い領域における関数値そのまま（正負反転していない）である。青い曲線は、値の振動に対する最初のリーマン零点の寄与を表す。

ポリア問題は、1919 年ジョージ・ポリアによって提起された予想である。この問題は、

L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)

(オンライン整数列大辞典の数列 A002819)

と定義された $L(n)$ が $L(n)\leq 0$ となるような n > 1 が存在するかという問いであった。この答えは肯定的であることが判明した。最小の反例は n = 906150257 であり、1980年に田中穣により発見された。その後、L(n) > 0.0618672√n となる正整数 n が無限個存在することが示された^[1]一方、同じ手法を用いて、L(n) < −1.3892783√n となる正整数 n も無限個存在することが示されている^[2]。

リーマン予想が正しいと仮定すれば、任意の $\varepsilon >0$ ごとにある絶対定数 $C>0$ が存在し、累積和関数 $L(x)\equiv L_{0}(x)$ は

L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right)

のオーダーになる^[2]。

一般化

より一般的に、正整数 x に対するリウヴィル関数の重み付き累積和関数を、任意の $\alpha \in \mathbb {R}$ について以下のように定義すれば、上に示した関数はその特殊例 $L(x):=L_{0}(x)$ と $T(x)=L_{1}(x)$ になる^[2]。

L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.

これらの $\alpha ^{-1}$ で重みづけられた累積和関数はメルテンス関数（英語版）、すなわちメビウス関数の重み付き累積和に関連している。いわゆる「重みなし」または「通常の」関数 $L(x)$ は総和

L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n)

と完全に一致している。さらに、これらの関数もまた、同様な上限による漸近的関係を満たす^[2]。例えば、いかなる $0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}$ に対しても

L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).

を満たすような絶対定数 $C_{\alpha }>0$ が存在する。ペロンの公式を適用するか、同じことだが主要部に（逆）メリン変換を施すことにより、

{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx

を得る。これに逆変換を施せば、 $x>1$ , $T\geq 1$ かつ $0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}$ のとき

L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T)

であることが示せる（ここでは $\sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)$ とおき、剰余項を $E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })$ および $T\rightarrow \infty$ のとき $R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0$ としている）。

とくに、リーマン予想 (RH) が真であり、 $\rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma$ で表されるリーマンゼータ関数の非自明な零点が全て単純零点であると仮定すれば、任意の $0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}$ および $x\geq 1$ に対して、全ての v ごとに $v\leq T_{v}\leq v+1$ が

L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x)

を満たすような $\{T_{v}\}_{v\geq 1}$ の無限列が存在することになる。ただしここで、任意の順次小さくなる $0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha$ に対し

I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds

と定義し、剰余項

R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}}

はここでももちろん $T\rightarrow \infty$ のとき 0 に収束するものとする。これらの正確な解析的式展開もまた、重み付きメルテンス関数の場合に対応する、同様な属性を共有している。それに加え、 $\zeta (1/2)<0$ であるので、 $L_{\alpha }(x)$ to $M(x)$ の形の新たな類似性により、上に示したいくつかの数式における主要項から、正整数 x 上のこれらの関数値に対する負のバイアスをほぼ予想することができる。

リウヴィル関数

性質

級数

重みつき累積和関数についての予想

一般化

脚注

参考資料

Related Articles