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レピュニット

すべての桁の数字が1である自然数 From Wikipedia, the free encyclopedia

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。この名前は repeated unitを省略した単語であり、アルバート・ベイラーが1964年の論文で命名した[注釈 1]。

10進法における n 桁のレピュニットは の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、Rn は素数となる。2進法における n 桁のレピュニットはメルセンヌ数 である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数（またはレプユニット素数、英: Repunit prime）という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質

m が n を割り切るならば、Rm は Rn を割り切る。よって、n が合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 だけである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 だけであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるので、すべてズッカーマン数である。

Rn は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 30 のときも含む）は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数
  • 偶数 - 11
    • 4の倍数 - 11・101
    • 6の倍数 - 3・7・11・13・37
  • 3の倍数 - 3・37
  • 5の倍数 - 41・271
  • 7の倍数 - 239・4649
  • 17の倍数 - 2071723・5363222357
など

901型の例

前述のとおり、R2n は11つまりR2 で割り切れる。同様に、2×n桁のR2n は、n桁のRn で割り切れる。さらに、nが奇数のとき、Rn は11で割り切れないから、R2 と Rn は互いに素となる。よって、R2nは、R2 × Rn で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、n−1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると、次のようになる。

さらに見る n（奇数）, 2 × n ...
n（奇数）2 × nR2nR2nの値（2×n桁）R2 × RnR2 × Rnの値（n+1桁）R2n ÷ R2 ÷ Rnの値（n−1桁）R2n ÷ R2 ÷ Rnの素因数分解
36R06111111＝R2 × R31221×917・13
510R101111111111R2 × R51222219091素数
714R1411111111111111R2 × R712222221909091素数
918R18111111111111111111R2 × R91222222221909090917・13・19・52579
1122R221111111111111111111111R2 × R11122222222221909090909111・23・4093・8779
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n が偶数のときのR2n、その他 についての例は次のとおり。

  • R12 = 11222211 × 9901
  • R20 = 1222210000122221 × 9091
  • R24 = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001
  • R28 = 1222222100000012222221 × 909091
  • R36 = 111111222222222222111111× 999999000001
  • R39 = 123333333333321 × 900900900900990990990991
など
  • R06 = 11 × (9091 + 1010)
  • R08 = 11 × (909091 + 101010)
  • R10 = 11 × (90909091 + 10101010)

[3][4][5][6]

1と0だけで表す例

さらに見る n, (10n/2 − 1) / 9 ...
n(10n/2 − 1) / 9[7]10n/2 + 1
R0211 × 1111
R041111 × 101101
R063・37111 × 10017・11・13
R0811・1011111 × 1000173・137
R1041・27111111 × 10000111・9091
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さらに見る n ...
n
R020001 × 111 × 11
R03#0001 × 111
R04$0001 × 111111 × 101
R05%0001 × 11111
R06&0001 × 111111111 × 1001
#0011 × 10101
R07*0001 × 1111111
R08$0011 × 10101011111 × 10001
R09#0111 × 1001001
R10%0011 × 10101010111111 × 100001
R12&0011 × 10101010101111111 × 1000001
$0111 × 1001001001
#1111 × 100010001
R14*0011 × 10101010101011111111 × 10000001
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さらに見る n ...
n
R061 × 111 × 100191・11
R1211 × 10101 × 10000019901・101
R18111 × 1001001 × 1000000001999001・1001
R241111 × 100010001 × 100000000000199990001・10001
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さらに見る n ...
n
R0411 × 101
R08101 × 110011
R121001 × 1110001111221001221 × 91
R1610001 × 111100001111
R20100001 × 1111100000111111222210000122221 × 9091
R241000001 × 1111110000001111111221001221001221001221 × 91
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累乗数 − 累乗数

[8]

さらに見る n, Rn×(10n+1) ...
nRn×(10n+1)
[9][10][11]
R02 62 − 5262 − 5262 − 52
R03 562 − 552562 − 552
R04 562 − 4525562 − 5552
R05 55562 − 55552
R06 5562 − 4452555562 − 55555250562 − 504526562 − 5652
R07 5555562 − 5555552
R08 55562 − 444520G（省略）
R09 0F（省略）5005562 − 5004452
R10 0E（省略）0E（省略）656562 − 565652
R11 0D（省略）
R12 0C（省略）0C（省略）500055562 − 500044452
R13 0B（省略）
R14 0C（省略）0A（省略）65656562 − 56565652
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レピュニット素数

現在、Rn で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年9月にハーヴェイ・ダブナーが確率的素数として発見してからポール・アンダーウッドによって素数判定されるまで22年6月を要した[12]。2023年5月に素数であることが証明された R86453 は、2000年10月にリュー・バクスターが確率的素数として発見してからアンドレアス・エンゲによって素数判定されるまで22年7月を要した[13]。

2007年3月26日、ハーヴェイ・ダブナーは n=109297の場合が確率的素数であると発表し[14]、その後n≦200000にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している[15][リンク切れ]。同年7月15日、マクシム・ヴォズニーはn=270343の場合が確率的素数であると発表した[16]。

2021年4月19日、セルゲイ・バタロフとライアン・プロッパーはn=5794777を[17]、同年5月8日にn=8177207を確率的素数であると発表した[18]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の確率的素数であった。

2025年5月29日、楕円曲線素数判定法によりn=109297の場合が素数であることが証明された。

さらに見る No., n ...
Rn = (10n − 1) / 9
No.n年[要出典]発見者素数判定
1 2BC 478- 素数
2 191908-06-27- 素数
3 231933-01-23- 素数
4 3171978-05-16ヒュー・ウィリアムズ 素数
5 10311986-10-05ヒュー・ウィリアムズ、ハーヴェイ・ダブナー 素数
6 490811999-09-09ハーヴェイ・ダブナー 素数
7 864532000-10-26リュー・バクスター 素数
8 1092972007-03-26ハーヴェイ・ダブナー 素数
9 2703432007-07-11マクシム・ヴォズニー 確率的素数
10 57947772021-04-19セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー 確率的素数
11 81772072021-05-08セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー 確率的素数
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(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)

レピュニットの素因数分解

レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている[19]。

基数 10 のレピュニットの R1 から R150 までの素因数分解の一覧を示す[20]。

n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数（含重複）

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

さらに見る n, ※ ...
基数10 のレピュニット Rn (n=1~150) の素因数分解の表
n※素因数分解
 
1001
2111 (素数)
3203・37
4211・‾C101
5241・271
6503・07・11・13・37
72‾C239・4649
8411・73・‾C101・137
94032・37・‾F333667
10411・41・‾C271・9091
112‾E21649・513239
12703・07・11・13・37・‾C101・9901
13353・79・265371653
14411・‾C239・4649・909091
15603・31・37・41・‾C271・2906161
16611・17・73・101・137・5882353
172‾G2071723・5363222357
189032・07・11・13・19・37・‾E52579・333667
191‾S1111111111111111111 (素数)
20711・41・‾C101・271・3541・9091・27961
21703・37・43・239・1933・4649・10838689
227112・23・‾D4093・8779・21649・513239
231‾W11111111111111111111111 (素数)
241003・07・11・13・37・73・101・137・9901・99990001
25541・271・‾E21401・25601・182521213001
26611・53・79・859・265371653・1058313049
277033・37・757・333667・440334654777631
28811・29・‾C101・239・281・4649・909091・121499449
295‾D3191・16763・43037・62003・77843839397
301303・07・11・13・31・37・41・‾C211・241・271・2161・9091・2906161
313‾D2791・6943319・57336415063790604359
321111・17・73・101・137・353・449・641・1409・69857・5882353
33603・37・67・21649・513239・1344628210313298373
34611・‾C103・4013・2071723・5363222357・21993833369
35741・071・239・271・4649・123551・102598800232111471
3612032・07・11・13・19・37・‾C101・9901・52579・333667・999999000001
373‾G2028119・247629013・2212394296770203368013
38311・‾R909090909090909091・1111111111111111111
39603・37・53・79・265371653・900900900900990990990991
401111・41・73・101・137・271・3541・9091・27961・1676321・5964848081
41483・1231・538987・201763709900322803748657942361
421503・072・11・13・37・43・127・239・1933・2689・4649・459691・909091・10838689
434‾C173・1527791・1963506722254397・2140992015395526641
4411112・23・89・101・4093・8779・21649・513239・1052788969・1056689261
4510032・31・37・41・271・238681・333667・2906161・4185502830133110721
46611・47・139・2531・549797184491917・11111111111111111111111
472‾H35121409・316362908763458525001406154038726382279
481303・07・11・13・17・37・73・‾C101・137・9901・5882353・99990001・9999999900000001
494‾C239・4649・‾I505885997・1976730144598190963568023014679333
501011・41・‾C251・271・5051・9091・21401・25601・182521213001・78875943472201
51803・37・‾C613・210631・2071723・52986961・5363222357・13168164561429877
52911・53・79・101・521・859・265371653・1058313049・1900381976777332243781
534‾C107・1659431・1325815267337711173 ・7198858799491425660200071
5414033・07・11・13・19・37・757・52579・333667・70541929・14175966169・440334654777631
55841・271・1321・21649・62921・513239・83251631・1300635692678058358830121
561211・29・73・101・137・239・281・4649・7841・909091・121499449・127522001020150503761
57603・37・‾E21319・10749631・1111111111111111111・3931123022305129377976519
58811・59・‾D3191・16763・43037・62003・77843839397・154083204930662557781201849
592‾M2559647034361・4340876285657460212144534289928559826755746751
602003・07・11・13・31・37・41・61・‾C101・211・241・271・2161・3541・9091・9901・27961・2906161・4188901・39526741
617‾C733・4637・329401・974293・1360682471・106007173861643・7061709990156159479
62511・‾D2791・6943319・57336415063790604359・909090909090909090909090909091
6314032・37・43・239・1933・4649・10837・23311・45613・333667・10838689・45121231・1921436048294281
641511・17・73・101・137・353・449・641・1409・19841・69857・976193・5882353・6187457・834427406578561
65741・053・79・271・265371653・162503518711・5538396997364024056286510640780600481
661503・07・112・13・23・37・67・4093・8779・21649・513239・599144041・183411838171・1344628210313298373
673‾F493121・79863595778924342083・28213380943176667001263153660999177245677
681011・‾C101・103・4013・2071723・28559389・1491383821・5363222357・21993833369・2324557465671829
69603・37・‾C277・203864078068831・11111111111111111111111・1595352086329224644348978893
701211・41・71・239・271・4649・9091・123551・909091・4147571・102598800232111471・265212793249617641
712‾ZD241573142393627673576957439049・45994811347886846310221728895223034301839
7218032・07・11・13・19・37・73・101・137・3169・9901・52579・98641・333667・99990001・999999000001・3199044596370769
733‾K12171337159・1855193842151350117・49207341634646326934001739482502131487446637
74711・‾D7253・2028119・247629013・422650073734453・296557347313446299・2212394296770203368013
751203・31・37・41・‾C151・271・4201・21401・25601・2906161・182521213001・15763985553739191709164170940063151
76611・‾C101・722817036322379041・909090909090909091・1111111111111111111・1369778187490592461
778‾C239・4649・5237・21649・42043・513239・29920507・136614668576002329371496447555915740910181043
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139 2 119124859925363・9327281575040435942820030416618073853906181206383845973140973454310325710523151012873614569275960380714495413018734336834397
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144 23 32・7・11・13・17・19・37・73・101・137・3169・8929・9901・52579・98641・333667・5882353・99990001・999999000001・3199044596370769・9999999900000001・111994624258035614290513943330720125433979169
145 11 41・271・3191・16763・43037・62003・9605671・77843839397・15589280974996818911・80684370001269698853996151670133742711・744909731145732233993613931089059528977143716201
146 7 11・293・12171337159・1855193842151350117・10826684964539959837294043117・286578888976194997999922592330908602103011・49207341634646326934001739482502131487446637
147 14 3・37・43・239・1933・4649・63799・4715467・10838689・505885997・267652966241599・2603941883787374089・1976730144598190963568023014679333・4769337181464959147997704753876850429427
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149 3 12517・535596779200919・1657369267941336519589012993557140069891364992082365534700548884452551757186137655887808209563554371273008938334507277118593589757
150 23 3・7・11・13・31・37・41・151・211・241・251・271・2161・4201・5051・9091・21401・25601・2906161・182521213001・78875943472201・15763985553739191709164170940063151・10000099999999989999899999000000000100001
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一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対して n 桁のレピュニットは と定義される。

前述のとおり、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは an−1 の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5(3) = 112, R4(7) = 202, R3(18) = 73 の場合しかない（Bugeaud 1999b[21]）。

Fd(x) を d 次の円分多項式とすると、

と表すことができる。

脚注

参考文献

関連項目

外部リンク

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