合成数

合成数（ごうせいすう、英: Composite number）は、自然数で、1とその数自身以外の約数を持つ数である^[1]。

0から100までの自然数の一覧。合成数は黄緑色の長方形の上に黒い数字で書かれている。

Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but prime numbers cannot — 「prime」は素数。「composite」は**合成数**。合成数は長方形に並べることができるが、素数は長方形に並べられない。

2つ以上の素数の積で表すことのできる自然数と定義してもよい。

例えば、15は1と15自身以外に3と5を約数に持つ（または 3×5 と素数の積で表される）ので合成数である。

約数は3個以上となる。

最小の素数は2であり、これを2乗した4が最小の合成数となる。合成数は無数にあり、4から小さい順に列記すると次のようになる。

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, …(オンライン整数列大辞典の数列 A002808)

素数を2乗した数は1つしか素因数を持たないが、9 = 3×3 のように2つの素数の積で表せる合成数である。このような数は4から順に列記するとこのようになる。

4、9、25、49、121、169、289、361、529、841、961、1369、1681の順。

合成数はおおよそ「素数でない自然数」と考えられる。

ただし自然数の内 1 は合成数や素数ではない。また自然数に 0 を含む場合は 0 も合成数や素数ではない。

言い換えれば、「1 と素数と合成数から自然数が構成される」とも捉えることが出来る。解釈によっては、これに 0 を加える。

数学的性質

4以上の全ての偶数は合成数である。6以上の全ての偶数は少なくとも4個の約数を持つ。
6以上の数では一の位が 0, 2, 4, 5, 6, 8 であれば全て合成数である。
10以上の数で数字和が3の倍数となる数（21、27、33、39、51、57、63、69、81、87、93、99等）は全て合成数である。
$(n-1)!\,\,\,\equiv \,\,0{\pmod {n}}$ 　6 ≦ n である合成数 n はこの式を満たす。
→詳細は「ウィルソンの定理」を参照
合成数は少なくとも3個の約数を持つ。また素数の2乗以外の合成数は少なくとも4個の約数を持つ。最少個の約数を持つ合成数は素数 p を2乗した p² で、1, p, p² の3つがその約数である。
3番目以降の多角数は合成数である。また、完全数や過剰数も全て合成数である。
任意の自然数 n に対して、連続する n 個の合成数を自然数列から取り出すことができる。
- (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, …, (n + 1)! + (n + 1) は連続する n 個の合成数である。
10進数では、8以上のハーシャッド数は全て合成数である。また、8以上でレピュニットでないズッカーマン数も全て合成数である。

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p - 1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) 四次 ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面体回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能循環切り捨て可能ストロボグラマティック素数 Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧

表話編歴被整除性に基づいた整数の集合
概要	素因数分解約数単約数約数関数素因数算術の基本定理
因数分解による分類	素数合成数半素数矩形数楔数平方因子をもたない整数多冪数累乗数アキレス数滑らかな数（英語版）ハミング数（英語版）粗い数（英語版）異常数（英語版）
約数和による分類	完全数概完全数準完全数倍積完全数 Hemiperfect number（英語版）ハイパー完全数超完全数単完全数（英語版）擬似完全数プラクティカル数エルデシュ・ニコラス数（英語版）
約数が多いもの	過剰数原始過剰数（英語版）高度過剰数超過剰数巨大過剰数高度合成数優高度合成数（英語版）不思議数
アリコット数列関連	アンタッチャブル数（英語版）友愛数 (友愛三数（英語版）) 社交数婚約数
位取り記法に基づくもの	Equidigital number（英語版） Extravagant number（英語版） Frugal number（英語版）ハーシャッド数 Polydivisible number（英語版）スミス数
その他	Arithmetic number（英語版）不足数 Friendly number（英語版） Solitary（英語版）サブライム数調和数デカルト数（英語版）タウ数超完全数

数学的性質

脚注

関連項目

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