佐藤・テイト予想

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E を有理数体上定義された楕円曲線とする。これは整数に係数をもつ多項式によりあらわす事ができ、この多項式を素数 p を法として考えることによりほとんど全ての p について有限体 F_p 上の楕円曲線 E_p を定めることができる（ここで例外となるのは E_p が特異点をもつ場合だが、そのような素数 p は有限個しかない）。N_p で E_p の有限体上に定義された点の数を表わすとすると、楕円曲線のハッセの定理により、

${\displaystyle -1<{\frac {(p+1-N_{p})}{2{\sqrt {p}}}}=:{\frac {a_{p}}{2{\sqrt {p}}}}<1}$

となる。このことから、θ_p を、

${\displaystyle {\frac {p+1-N_{p}}{2{\sqrt {p}}}}=\cos {\theta _{p}}~~(0\leq \theta _{p}\leq \pi )}$

をみたす実数として定義する。 佐藤・テイト予想(Sato–Tate conjecture)は、E が虚数乗法を持たないとき^[1]、θ の確率測度が

${\displaystyle \sin ^{2}\theta \,d\theta }$^[2]

に比例することを言っている。 いいかえると、0 ≤ α < β ≤ π であるすべての実数のペア α と β に対して、

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\#\{p\leq N:\alpha \leq \theta _{p}\leq \beta \}}{\#\{p\leq N\}}}={\frac {2}{\pi }}\int _{\alpha }^{\beta }\sin ^{2}\theta \,d\theta }$

となる、というのが予想の意味するところである。

この予想は1963年^[3]に佐藤幹夫(Mikio Sato)により提出され、ジョン・テイト(John Tate)により代数幾何学的に解釈された。^[4]

楕円曲線 E と素数 p が具体的に与えられれば、それに対する θ_p を計算すること自体は容易である。例として、方程式 y² = x³ + x² − x で定義される楕円曲線 E を考える。この楕円曲線は虚数乗法を持たず、p = 7 で良還元を持つ^[5]。θ_p を定義から計算するには E_p の有理点の個数 N_p を求めればよいが、これは多項式 f (x, y) = y² − (x³ + x² − x) に x, y = 0, 1, ..., p − 1 をすべて代入してみて p による剰余が0となるものの個数を数えればよい。無限遠点があるので、この個数に1を足したものが N_p である。次の表は f (x, y) の p = 7 での剰余を表計算ソフトで計算した結果である。

y＼x	0	1	2	3	4	5	6
0	0	6	4	2	1	2	6
1	1	0	5	3	2	3	0
2	4	3	1	6	5	6	3
3	2	1	6	4	3	4	1
4	2	1	6	4	3	4	1
5	4	3	1	6	5	6	3
6	1	0	5	3	2	3	0

0が5つあるので、E の N₇ は6であることがわかった。したがって、

${\displaystyle \theta _{7}=\arccos \left({\frac {7+1-6}{2{\sqrt {7}}}}\right)\fallingdotseq 1.18319964}$

である。

この計算からは θ_p の分布に関して何らかの規則性があるとは想像できないが、実際には sin² という簡明な関数に従って分布していることを主張するのが、佐藤・テイト予想である。

佐藤・テイト予想は、考えている楕円曲線 E の、任意の正整数 m に対する対称積 L 関数 L(s, Sym^m E) が Re s ≧ m/2 + 1 の範囲に解析接続できて、この範囲に零点をもたなければ正しいことがテイトとセールにより示されていた^[6][7]。

ラングランズ予想の一部として GL_m+1 の尖点的保型表現 π_m であって L(s, π_m) = L(s, Sym^m E) となるものの存在が予見されるが、このような π_m が存在すれば、保型表現の L 関数の一般論からそのことが言えて、佐藤・テイト予想は解けることになる^[8]。

2001年、リチャード・テイラーたちにより谷山志村予想が完全解決され、これにより m = 1 のときは π_m が存在することがわかった^[9][10]。谷山志村予想は1995年に弱い形でアンドリュー・ワイルズとテイラーによって証明され、それによってフェルマー予想が解決された^[9]。佐藤・テイト予想を解決するには、残りの無限個の m に対して同じことを証明する必要があるので、「佐藤・テイト予想はフェルマー予想の無限倍難しい」と表現されることもある^[9]。

2006年春、ハーバード大学教授のリチャード・テイラーは、ローラン・クローゼル（英語版）、ミカエル・ハリス（英語版）、ニコラス・シェパード-バロン（英語版）との共同研究に基づき^[11]、楕円曲線 E の j 不変量 j(E) が代数的整数ではないという条件付きで、π_m の存在よりも少し弱い主張（潜保型性）を証明することにより、総実体の楕円曲線について佐藤・テイト予想を解決したことを発表した^[8][12]。証明は3本の論文 Clozel, Harris & Taylor (2008)、Taylor (2008)、Harris, Shepherd-Barron & Taylor (2010) からなり、2008年と2010年に公表された^[11]。これによって多くの場合に佐藤・テイト予想が解決された^[11]。

楕円曲線 E の j 不変量が代数的整数ではないという条件は、基礎体をその有限次拡大に置き換えるとある有限素点で E が乗法的還元（英語版）を持つという条件と同値な条件である^[13]。この技術的な条件はアーサー・セルバーグの跡公式（英語版）の安定化の問題を回避するためにつけられたものであるが^[14]、安定化に関する十分な結果が得られた暁には取り除くことができる条件であった^[15]。2007年6月においてもそうした結果は手の届く範囲にあると思われており^{[15][注 1]}、2009年3月^[16]にはゴ・バオ・チャウらによる「基本補題」の解決やシンらによる精力的な研究によりこの仮定が取り除かれる日も近いと考えられていた^[14]。

そして、2009年7月6日付のトーマス・バーネット-ラム（英語版）、ダヴィッド・ゲラティ（英語版）、ハリス、テイラーの共著のプレプリントの導入部において、総実体上の任意の楕円曲線に対して佐藤・テイト予想が解決されたと書かれた^[17]。この記念すべき論文は佐藤幹夫が長年勤務した数理解析研究所の雑誌の佐藤幹夫80歳記念号にて2011年に出版された^[18][19]。

今では π_m が存在することもジェイムス・ニュートン（ドイツ語版）とジャック・ソーンによって証明されている^[8][20][21]。

エタール・コホモロジー上のガロア表現に含まれるガロア群のフロベニウス元の分布が、一般化と考えられる。特に、種数が n > 1 の曲線についての予想がある。

ニック・カッツ(Nick Katz)とピーター・サルナック(Peter Sarnak)により開発されたランダム行列モデル^[22] では、フロベニウス元の（ユニタリ化された）特性方程式と、コンパクトリー群 USp(2n) = Sp(n) 上のリー群の共役類との間に対応関係を示した。従って、USp(2n) 上のハール測度は分布を与えると予想され、古典的な場合は USp(2) = SU(2) である。

さらに精密な予想として、1976年のサージ・ラング(Serge Lang)とハイル・トロッター（ドイツ語版）(Hale Trotter)によるラング・トロッター予想(Lang–Trotter conjecture)は、公式の中に現れるフロベニウス元のトレースである値 a_p が、素数 p に対し決まると、漸近的な数が存在すると言う予想である。^[23] 典型的な例（虚数乗法を持たず、かつ trace ≠ 0）では、X についての p に対する数値は、ある特別の定数 c が存在して、漸近的に

${\displaystyle c{\sqrt {X}}/\log X\ }$

に近づく。ニール・コブリッツ（英語版）(Neal Koblitz)は、1988年、楕円曲線暗号に動機をもって、素数 q の場合の、E_p 上の点の数についての詳細な予想を提示した。^[24]

ラング・トロッター予想は、原始根についてのアルティンの予想（英語版）(Artin's conjecture on primitive roots)の類似であり、1977年に提唱された。