債券評価

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「ストレート型」債券（埋め込みオプションがないもの - 債券の特徴を参照）の公正価格は、適切な割引率で割り引かれた期待キャッシュフローの現在価値である。実務上、価格はより流動性の高い金融商品との相対的な関係から推測されることが多い。一般的なアプローチとして、相対価格アプローチと裁定フリー価格評価アプローチの2つがある。債券オプションの評価など、将来の金利の不確実性を評価に反映させる必要がある場合、アナリストは金利モデルを使用する。^[4]

基本的な計算では、すべての期間において単一の市場レートで各キャッシュフローを割り引く。より現実的な手法では、イールドカーブに沿って各キャッシュフローを個別のレートで割り引く。^[2]:294 以下の式は、クーポンが支払われた直後であることを前提としている。その他の日付については、クリーン価格とダーティ価格を参照。

$${\displaystyle P\;=\;\sum _{n=1}^{N}{\frac {C}{(1+i)^{n}}}\;+\;{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\;=\;C\,{\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}}\;+\;M\,(1+i)^{-N}}$$

ここで：

• ${\displaystyle F}$ は額面（face value）
• ${\displaystyle i_{c}}$ は1期あたりのクーポンレート
• ${\displaystyle C=F,i_{c}}$ は1期あたりのクーポン支払額
• ${\displaystyle N}$ は残存支払回数
• ${\displaystyle i}$ は1期あたりの市場割引率（多くの場合、最終利回り（英語版）に関連付けられる）
• ${\displaystyle M}$ は満期時の償還額（通常は ${\displaystyle F}$ に等しい）
• ${\displaystyle P}$ は債券価格

このアプローチでは、債券の価格をベンチマーク（通常は国債のイールドカーブ）との相対的な関係で決定する。債券の最終利回り（英語版）を、その信用格付けと満期またはデュレーションに適切なクレジット・スプレッド（英語版）をベンチマーク利回りに加えたものとして設定する。この必要収益率を上記の現在価値の公式に当てはめ、${\displaystyle i}$ を債券のYTM（最終利回り）に置き換えて使用する。^[5]

このアプローチでは、約束された各キャッシュフローをそれぞれ独自の割引率で評価する。債券をキャッシュフローのパッケージと見なし、同じ満期と信用力を持つ対応するゼロクーポン債から示唆されるレートで各キャッシュフローを割り引く。^[6]

${\displaystyle CF_{n}}$ を時点 ${\displaystyle t_{n}}$ におけるキャッシュフロー、${\displaystyle Z(0,t_{n})}$ をその日付の割引因子とすると、 $${\displaystyle P\;=\;\sum _{n=1}^{N}CF_{n}\,Z(0,t_{n}).}$$

これが裁定フリー価格である。市場価格がこの値と異なる場合、トレーダーは同一のキャッシュフローを持つ資産を構築し、価格が調整されるまで利益を確定させることができる。一般的な議論については en:Rational_pricing#Assets_with_identical_cash_flows を参照。

近年の展開として、2008年の金融危機以降、投資銀行はCSAにリンクした「割引カーブ」を使用して債券を評価し、同時に発行体（イシュアー）のクレジット・カーブを用いて期待キャッシュフローをデフォルトリスクに対して調整することがある。 en:Multi-curve_framework#Context を参照。

債券オプション（英語版）やその他の金利デリバティブ（英語版）の価格を評価する場合、将来の短期金利はランダムであるため、単一の固定割引率では不十分である。この設定では、ワンファクター・ショートレート・モデルとリスク中立評価を用いる。

このようなモデルの下では、満期 ${\displaystyle T}$ のゼロクーポン債の価格 ${\displaystyle P(t,r;T)}$ は、以下のリスク中立債券偏微分方程式（PDE）を満たす。 $${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}\;+\;a_{\mathbb {Q} }(r,t)\,{\frac {\partial P}{\partial r}}\;+\;{\tfrac {1}{2}}\,\sigma (r,t)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}\;-\;r\,P\;=\;0,}$$ ここで、${\displaystyle a_{\mathbb {Q} }(r,t)}$ は短期金利のリスク中立的なドリフト、${\displaystyle \sigma (r,t)}$ はそのボラティリティである。^[7][8]

同等に、リスク中立測度 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ の下では次のように表される。 $${\displaystyle P(t,T,r_{t})\;=\;\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }\!{\bigl [}\exp \!{\bigl (}-\textstyle \int _{t}^{T}r_{s}\,\mathrm {d} s{\bigr )}\,{\big |}\,r_{t}{\bigr ]}}$$

実務で数値を算出するには、具体的なショートレート・モデルを選択する必要がある。一般的な選択肢には、CIRモデル、ブラック・ダーマン・トイ・モデル、ハル・ホワイト・モデル、HJMフレームワーク、チェン・モデル（英語版）などがある。一部のモデルは閉じた形の解（公式）を導く。そうでない場合は、ラティス法（英語版）やシミュレーション（英語版）を使用する。

利払日の間に債券を評価する場合、価格には前回の利払日からの経過時間に応じた経過利息（英語版）が含まれる。経過利息を含む価格をダーティ・プライス（英語版）（フル・プライス、オールイン・プライス、またはキャッシュ・プライスとも呼ばれる）と言う。クリーン・プライス（英語版）は経過利息を除いた価格である。

クリーン・プライスはダーティ・プライスよりも時間的な安定性が高い。ダーティ・プライスは利息の蓄積に伴って利払日間で決定論的に上昇し、利息が支払われると概ねクーポン額分だけ下落する。 $${\displaystyle P_{\text{dirty}}\;=\;P_{\text{clean}}\;+\;{\text{AI}}}$$ ここで ${\displaystyle {\text{AI}}}$ は現在のクーポン期間の経過利息である。市場の日数計算慣行（英語版）に基づき、一般的な計算式は以下の通りとなる。 $${\displaystyle {\text{AI}}\;=\;C\times \alpha }$$ ここで ${\displaystyle C}$ はその期間のクーポン額、 ${\displaystyle \alpha }$ は前回の利払日から評価日までの経過日数割合である。

例えば、毎年4月1日と10月1日にクーポンを支払う債券があるとする。額面100に対して年クーポンレートが6%の場合、半年ごとのクーポンは以下のようになる。 $${\displaystyle C=0.06\times {\frac {100}{2}}=3}$$ 決済日が2025年7月1日であると仮定する。30/360の日数計算では、4月1日から7月1日までの経過割合は以下の通り。 $${\displaystyle \alpha ={\frac {90}{180}}=0.50}$$ 経過利息は $${\displaystyle {\text{AI}}=C\times \alpha =3.00\times 0.50=1.50}$$ 提示されたクリーン・プライスが98.20であれば、ダーティ・プライスは $${\displaystyle P_{\text{dirty}}=P_{\text{clean}}+{\text{AI}}=98.20+1.50=99.70}$$

多くの市場では、気配値はクリーン・プライス・ベースで提示される。決済時には、提示されたクリーン・プライスに経過利息が加算され、支払額が決定される。

価格が判明すれば、価格と債券のキャッシュフローを関連付けるいくつかの利回り (金融)（英語版）を計算できる。

最終利回り（英語版）（YTM）は、オプションなしの債券について、約束されたすべてのキャッシュフローの現在価値と観察された市場価格を一致させる割引率である。これは、キャッシュフローが予定通りに受け取られ、かつYTMで再投資される場合のキャッシュフローの内部収益率（IRR）である。YTMは値付け（プライシング）に使用できるため、債券はYTMによって提示されることが多い。

提示されたYTMに等しい収益を実現するには、投資家は以下の条件を満たす必要がある。

• 提示価格 ${\displaystyle P}$ で債券を購入する。
• すべてのクーポンと元本を、デフォルトなく予定通りに受け取る。
• 各クーポンを満期までYTMで再投資する。

クーポンレートは、額面 ${\displaystyle F}$ に対する年間のクーポン支払額の割合である。クーポンが年 ${\displaystyle m}$ 回支払われ、1期あたりのクーポンが ${\displaystyle C}$ である場合、年間のクーポンは ${\displaystyle mC}$ となり、次のように表される。 $${\displaystyle {\text{Coupon rate}}\;=\;{\frac {mC}{F}}}$$ クーポンレートは、名目利回り（nominal coupon）と呼ばれることもある。

直接利回り（英語版）（current yield）は、年間クーポンを評価日時点の（クリーン）価格 ${\displaystyle P}$ で割ったものである。 $${\displaystyle {\text{Current yield}}\;=\;{\frac {mC}{P}}}$$

直接利回りの概念は、最終利回りやクーポン利回りといった他の債券の概念と密接に関連している。最終利回りとクーポンレートの関係は以下の通りである。

最終利回りとクーポンレートの関係

状態	関係
割引（ディスカウント）発行	最終利回り > 直接利回り > クーポンレート
プレミアム発行	クーポンレート > 直接利回り > 最終利回り
パー発行（額面での販売）	最終利回り = 直接利回り = クーポンレート

価格が額面を下回ると最終利回りは上昇する。この上昇幅は直接利回りよりも大きくなる。なぜなら、償還時に実現するキャピタルゲイン（償還差益）も反映されるからである。

金利の変化に対する債券価格の感応度は、一次の効果についてはデュレーションで、二次の効果についてはコンベキシティ（英語版）で測定される。

デュレーション（具体的には修正デュレーション）は、価格感応度の一次元的な尺度である。利回りの小さな平行移動 ${\displaystyle \Delta y}$ に対して、 価格の変化率は、近似的にデュレーションに ${\displaystyle \Delta y}$ の絶対値を乗じたものになる。例えば、デュレーションが7の債券がある場合、利回りが1%ポイント上昇すると、コンベキシティを無視すれば、価格は約 ${\displaystyle -7\%}$ 変化することを示唆する。

$${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}\;\approx \;-\,D\,\Delta y\;+\;{\tfrac {1}{2}}\,C\,(\Delta y)^{2}}$$

コンベキシティは、価格と利回りの関係の曲がり具合（曲率）を測定する。価格と利回りの関係は線形ではなく、凸状（コンベックス）である。形式的には、デュレーションは利回りに対する価格の一次導関数であり、コンベキシティは二次導関数である。両方を使用することで、上記の公式による推定精度が向上する。

埋め込みオプションを持つ債券については、実効デュレーションおよび実効コンベキシティ（英語版）を参照。ポートフォリオの文脈については、普通社債#リスク分析を参照。

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長期負債の会計において、債券の割引またはプレミアムは債券の期間にわたって償却される。標準的な手法は実効金利法である。IFRS（国際財務報告基準）の下では、金融商品が償却原価で測定される場合に義務付けられている。米国GAAP（一般に公正妥当と認められた会計原則）でも義務付けられているが、結果が実効金利法と重要に異ならない場合に限り、定額法を用いることができる。^[9][10]

${\displaystyle P_{0}}$ を発行時の帳簿価額、${\displaystyle F}$ を額面、${\displaystyle C}$ を1期あたりの現金クーポン、${\displaystyle r}$ を実効的な期間金利（発行時の市場利回り）とする。各期間 ${\displaystyle n=1,\dots ,N}$ について：

$${\displaystyle I_{n}\;=\;r\,P_{n-1}.}$$ $${\displaystyle A_{n}\;=\;I_{n}-C.}$$ $${\displaystyle P_{n}\;=\;P_{n-1}+A_{n}\;=\;P_{n-1}(1+r)-C.}$$

割引発行の場合、${\displaystyle A_{n}>0}$ となり、帳簿価額は ${\displaystyle F}$ に向かって増加（アクリーション）していく。プレミアム発行の場合、${\displaystyle A_{n}<0}$ となり、帳簿価額は ${\displaystyle F}$ に向かって減少（アモチゼーション）していく。発行コストがない場合、満期時には ${\displaystyle P_{N}=F}$ となる。

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