円周率の近似

人類は少なくとも紀元前5000年ごろから、車輪のような円形の物体を使って重いものを運ぶなど、円を役立つ形として認識し、利用してきた。特に円に関して高い数学的知識を持っていたのが、現在のイラク南部に当たる地域に紀元前2500年ごろから住んでいたバビロニア人。彼らは、円の研究を進め、円周の長さが円の直径に比例すること、すなわち円周率の存在に気付いていた。

古代エジプト人は円周率を3.125とした。彼らの結論にたどり着くには、簡単な実験をするだけでよい。まず、ひもと木の棒2本を用意し、ひもの両端に木の棒をくくりつける。そして、コンパスのように円を描く。そのあと、そのままひもを定規の代わりにし、半径の何倍になる調べる。そうすると約6.25倍になることがわかる。あとは2で割ると直径の約3.125倍になることがわかる。

${\displaystyle \pi =3.125}$

古代バビロニア人は円周率を3.16049...とした。彼らの結論にたどり着く方法は、彼らが残した記録を見ることでわかる。

${\displaystyle \pi =3.16049\cdots }$

紀元前3世紀に入ると、円周率の真の値に限りなく近づくことができる画期的な方法を考え出した人が現れた。古代ギリシャの数学者で物理学者のアルキメデス。彼の考えだした方法は次の通り。

円に内接する正六角形の外周(=3)<直径1の円の外周(=π)<円に外接する正六角形の外周(=3.4661...)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この円に内接する正多角形と円に外接する正多角形の辺の数を無限に増やせば円周率が求められる。

アルキメデスの手法で求めた円周率の記録

人物	時代	記録
アルキメデス	紀元前287年～212年	小数点以下2桁
祖 沖之	430年～501年	小数点以下7桁
ルドルフ・ファン・ケーレン	1540年～1610年	小数点以下35桁
関 孝和	1642年～1708年	小数点以下10桁
建部 賢弘	1664年～1739年	小数点以下40桁

アルキメデスの方法では正96角形を使って3.14までを決定しているがこれを見るとかなり精度が悪いことがわかる。また、東京大学の「${\displaystyle \pi >3.05}$を示せ。」という問題も正8角形や正12角形を用いて示すことができる。また、周でなく面積でも求めることができるが、こちらの方が精度が悪く、面積を使って${\displaystyle \pi >3}$を示すためには正12角形を用いる必要がある。${\displaystyle \pi >3.05}$を示すためには正24角形などを用いる必要がある。

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${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {90^{\circ }}{2^{n}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$

フランソワ・ビエトによる。アルキメデスの方法と本質的に同じで三角関数の半角の公式を用いて導出することができる。

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2\times 2\times 4\times 4\times 6\times 6\cdots }{1\times 3\times 3\times 5\times 5\times 7\cdots }}}$

正弦関数の無限乗積展開を用いて導出することができる。

ウォリスの公式を変形することで導出できる。

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17世紀からは無限級数(無限和)を使った円周率を求める方法が考え出された。

ライプニッツはarctanのマクローリン展開

${\displaystyle \arctan {x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots }$

に${\displaystyle x=1}$を代入し、

${\displaystyle \arctan {1}={\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\cdots }$

を得た(ライプニッツの公式)。

arctanのマクローリン展開はすでにマーダヴァが、ライプニッツの公式は独立にグレゴリーが発見していたため、マーダヴァ・グレゴリー・ライプニッツ級数と呼ばれるようになった。

ジョン・マチンはarctanのマクローリン展開から

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

を得た。この公式は収束が速く、マチン自身も円周率を100桁求めている。また、ウィリアム・シャンクスは707桁目まで求めたが、その後${\displaystyle \arctan {\frac {1}{5}}}$が527桁目までしか一致しておらず、正しかったのは527桁目までということがわかった。

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=8\arctan {\frac {1}{10}}-\arctan {\frac {1}{239}}-4\arctan {\frac {1}{515}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$

2つ目の公式はオイラー変換と呼ばれる変換でarctanを無限乗積展開すると${\displaystyle {\frac {2}{100}}}$や${\displaystyle {\frac {3792}{100000}}}$が現れるため、十進数での計算がしやすい。実際、オイラー自身もこの公式を使って1時間程度で20桁求めたといわれている。

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-2\arctan {\frac {1}{408}}+\arctan {\frac {1}{1393}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{8}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{70}}+\arctan {\frac {1}{99}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(1103+26390n)}{(4^{n}99^{n}n!)^{4}}}}$

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}(21460n+1123)(4n!)}{{882}^{2n+1}{(4^{n}n!)}^{4}}}}$

この級数は1項ごとに約8桁ずつ正確な桁が増える。

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}(6n)!}{(3n)!{(n!)}^{3}}}{\frac {13591409+545140134n}{{640320}^{3n+{\frac {3}{2}}}}}}$

この級数は1項ごとに約14桁ずつ正確な桁が増える。

「ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム」も参照

は2つの数値の算術幾何平均を求めるために、それぞれの数値を算術平均(相加平均)と幾何平均(相乗平均)で置き換えていくものである。

${\displaystyle a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad t_{0}={\frac {1}{4}}\qquad p_{0}=1}$

a, b が希望する精度（桁数）になるまで以下の計算を繰り返す。小数第n位まで求めるとき　log₂ n 回程度の反復でよい。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\\t_{n+1}&=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\\p_{n+1}&=2p_{n}\end{aligned}}}$

円周率 π は、a, b, t を用いて以下のように近似される。

${\displaystyle \pi \approx {\frac {(a+b)^{2}}{4t}}}$

最初の3回の反復で得られる数値（最後の桁は真値とは異なる）は以下の通りである。

${\displaystyle 3.140\dots }$　（小数点以下2桁目までが正しい）

${\displaystyle 3.14159264\dots }$　（小数点以下7桁目までが正しい）

${\displaystyle 3.1415926535897932382\dots }$（小数点以下18桁目までが正しい）

この計算過程は二次収束する。ガウス自身もこの式を用いて反復を4回まで行って12桁まで正しいことを確認したことが知られている。

${\displaystyle \sin {x}<x<\tan {x}(0<x<{\frac {\pi }{2}})}$

を用いる近似方法もある。例えば

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}<{\frac {\pi }{4}}<1}$

より

${\displaystyle 2{\sqrt {2}}<\pi <4}$

がわかる。これで四角形の周を利用したものと同じ評価が得られた。