写像12相

有限集合 N と X、それらの濃度 ${\displaystyle |N|=n}$ と ${\displaystyle |X|=x}$ を定める。

ここで考えたい一般的な問題は、写像 ${\displaystyle f:N\to X}$ の同値類の数え上げである。

写像 f に、次の3つの条件のいずれかを適用する：

1. 条件なし：f は N を X の任意の b に写さなくても（写しても）よい。また、ある b に、N の複数の a を写してもよい。
2. f は単射である：f が写した X の値 f(a) は、互いに異なる。言い換えると、f は、X のどの b にも複数回写すことはない（高々 1回である）。
3. f は全射である：f は N を X の全ての b に写す。言い換えると、f は、X のどの b にも N から写している。

（条件2. かつ 3. の場合は「f は全単射である」となる。これは n = x の場合のみ成立可能である。）

写像 f に、4種類の同値関係が定義される：

1. 等しい
2. N の置換による違いを除いて、等しい
3. X の置換による違いを除いて、等しい
4. N および X の置換による違いを除いて、等しい

結局、写像 f に適用する条件は、上記の3条件と4つの同値関係の、3 × 4 = 12通りがある。

写像の同値類を数え上げる12種の問題は、各々は同じ難易度ではなく、また、これらを統一的に解く方法は知られていない。12種の問題のうち、2つの問題は自明（同値類の数は0または1）であり、5つの問題は解が n, x の乗法的な公式で与えられる。残る5つの問題は、組合せに関わりのある関数（スターリング数、分割数など）によって解が与えられる。

写像12相における問題を考えるにあたり、集合と写像による現代数学の記法を身近で具体的な例（またはいくつかの同様の視覚化）に置き換えて説明し理解することができる。

伝統的に、写像12相での問題の多くは、「有限個の球全てを有限個の箱にどのように入れるか」といったモデルで説明されてきた。集合 N を有限個の球からなる集合、集合 X を有限個の箱からなる集合とし、写像 ƒ : N → X は、それぞれの球 a を箱 ƒ(a) に入れる操作に置き換えて考えることができる。

f が単射であることは、「箱に入る球は1個だけ」、f が全射であることは「箱には必ず球を入れる」に対応する。

N の置換による違いを同一視するのは「球を区別しない」、X の置換による違いを同一視するのは「箱を区別しない」に対応する。